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- 2021-06-04 发布
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课时作业(二)
1．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
答案 D
2．若|x－a||a－b| B．|a－b|<|a|＋|b|
C．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<||a|－|b||
答案 C
解析 取a＝－2，b＝3，用特殊值验证．
4．|x－A|<，|y－A|<是|x－y|<ε的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 利用绝对值不等式性质可得．
5．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )
A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c| B．a2＋≥a＋
C．|a－b|＋≥2 D.－≤－
答案 C
解析 由于a－b的符号不能确定，故选C.
6．已知|α＋β|＝|α|＋|β|，|α|>2，|β|>2，则下列结论：①|α－β|≤|α＋β|；②|α－β|>|α＋β|；③|α＋β|>5；④|α＋β|≤5.其中正确的有( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
答案 B
解析 ∵|α＋β|＝|α|＋|β|，∴αβ≥0.
∴|α－β|≤|α＋β|.
∵|α|>2，|β|>2，
5
∴|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5成立．∴①③正确．
7．若1<<，则下列结论中不正确的是( )
A．logab>logba B．|logab＋logba|>2
C．(logba)2<1 D．|logba|＋|logab|>|logab＋logba|
答案 D
8．已知|x－m|<，|y－n|<，则|4x＋2y－4m－2n|小于( )
A．ξ B．2ξ
C．3ξ D.
答案 C
9．若不等式|x－2|＋|x＋3|5 B．a≥5
C．a<5 D．a≤5
答案 D
10．设变量x，y满足|x－1|＋|y－a|≤1，若2x＋y的最大值是5，则实数a的值是( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
答案 B
11．下列四个不等式：①logx10＋lgx≥2(x－1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③|＋|≥2(ab≠0)；
④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的是________．(把你认为正确的序号都填上)
答案 ③④
12．对于任意的实数x，不等式|x＋1|＋|x－2|>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 a<3
13．(2014·江西)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．
答案 [0，2]
14．若不等式|2a－1|≤|x＋|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [－，]
解析 |x＋|＝|x|＋≥2，
5
所以由已知得|2a－1|≤2，即2a－1≤2且2a－1≥－2，解得－≤a≤.
15．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1.
求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明 |f(x)－f(a)|
＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1
＝2(|a|＋1)．
16．设函数f(x)＝|2ax＋b|(a，b是常实数)的定义域是[－1，1]，如果对于定义域内的每一个x，都有f(x)<1，那么|a|＋|b|<1.
(1)证明上述命题；
(2)写出上述命题的逆命题，若逆命题正确，请给以证明；若逆命题错误，请举一个反例给以说明．
解析 (1)∵x∈[－1，1]时，都有f(x)<1，
∴f(1)<1且f(－1)<1，
即|2a＋b|<1且|－2a＋b|<1.
又2a与b或－2a与b一定有一个同号，
∴|2a|＋|b|<1，即|a|＋|a|＋|b|<1.
所以|a|＋|b|<1.
(2)逆命题是：设函数f(x)＝|2ax＋b|(a，b是常实数)的定义域是[－1，1]，如果|a|＋|b|<1，那么对于定义域内的每一个x，都有f(x)<1.上述逆命题是错误的．
例如，a＝，b＝满足|a|＋|b|<1，
但是f()＝|2××＋|>1，所以逆命题不成立．
1．已知h>0，设命题甲：两个实数a，b满足|a－b|<2h，命题乙：两个实数a，b满足|a－1|2，|β|>2；④|α＋β|>5.
以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．
答案 ①③⇒②④
3．以下三个命题：(1)若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
(3)若|x|<2，|y|>3，则||<，其中正确的有________个．
答案 3
解析 (1)∵|a－b|<1，而|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|<1，∴|a|<|b|＋1成立；(2)∵|a＋b|＝|2a－(a－b)|≤|2a|＋|a－b|＝2|a|＋|a＋b|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|成立；(3)∵|x|<2，|y|>3，∴0<<，∴<成立．所以3个命题均正确．
4．已知|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|________2.
答案 <
解析 当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|<2；
当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－(a－b)|＝2|b|<2；
当(a＋b)(a－b)＝0时，|a＋b|＋|a－b|<2.
综上，|a＋b|＋|a－b|<2.
5．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.若存在x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，求实数m的取值范围．
解析 f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝
所以f(x)min＝f()＝－.因为存在x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，所以4m－2m2>f(x)min＝－，整理得4m2－8m－5<0，解得－
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