高中数学3_1_2两角和与差的正弦导学案苏教版必修4 6页

3.1.2 两角和与差的正弦 学习目标 重点难点 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与 差的正弦公式，并能利用公式化简求值． 2．能记住两角和与差的正弦、余弦公式特征． 3．能逆用公式进行化简求值. 重点：两角和与差的正弦公式的推导及利用 公式化简求值． 难点：灵活运用公式进行化简求值. 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式： sin(α＋β)＝__________(α，β∈R) (2)两角差的正弦公式： sin(α－β)＝__________(α，β∈R) 答案：(1)sin αcos β＋cos αsin β (2)sin αcos β－cos αsin β 预习交流 1 你能结合三角函数诱导公式，由公式 C(α＋β)或 C(α－β)推导出公式 S(α－β)吗？ 提示：能．sin(α－β)＝cos π 2 － α－β ＝cos π 2 －α ＋β ＝cos π 2 －α cos β－sin π 2 －α sin β ＝sin αcos β－cos αsin β或 sin(α－β) ＝cos π 2 － α－β ＝cos π 2 ＋β －α ＝cos π 2 ＋β cos α＋sin π 2 ＋β sin α ＝－sin βcos α＋cos βsin α ＝sin αcos β－cos αsin β. 2．辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ)(a，b 不同时为 0)． 其中 cos θ＝ a a2＋b2 ，sin θ＝ b a2＋b2 . 预习交流 2 你会求函数 y＝sin x＋cos x 的周期与最小值吗？ 提示：∵y＝sin x＋cos x＝ 2 1 2 sin x＋ 1 2 cos x ＝ 2 sin xcosπ 4 ＋cos xsinπ 4 ＝ 2sin x＋π 4 ，∴周期为 T＝2π，最小值为－ 2. 预习交流 3 (1)化简 sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β的结果应为__________． (2)计算 sin 43°cos 13°－sin 13°cos 43°的值等于__________． (3)已知 cos αcos β＝ 3 2 －sin αsin β，则 cos(α－β)＝__________. (4)sinπ 12 － 3cos π 12 的值是__________． 提示：(1)sin α (2)1 2 (3) 3 2 (4)－ 2 一、给角求值 (1)求 sin 157°cos 67°＋ cos 23°sin 67°的值； (2)求 sin(θ＋75°)＋ cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)的值． 思路分析：(1)的形式与公式有差异，应先由诱导公式化角，再逆用公式求值． (2)所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式，θ＋75°＝(θ＋15°)＋60°，θ ＋45°＝(θ＋15°)＋30°. 解：(1)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋ cos 23°sin 67° ＝sin 23°cos 67°＋ cos 23°sin 67° ＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1． (2)sin(θ＋75°)＋ cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋ cos(θ＋15°＋30°)－ 3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋ cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－ sin(θ＋15°)sin 30°－ 3cos(θ＋15°) ＝ 1 2 sin(θ ＋ 15°) ＋ 3 2 cos(θ＋ 15°) ＋ 3 2 cos(θ ＋ 15°) － 1 2 sin(θ ＋ 15°) － 3cos(θ＋15°)＝0. 1．sin 15°cos 75°＋ cos 15°sin 105°等于__________． 答案：1 解析：原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin(180°－75°)＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1． 2．sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)． 答案：1 解析：原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1． 解答此类题目首先利用诱导公式化角，一般式子中只能涉及两个角，再 根据两角和与差的公式形式，逆用公式求值． 二、给值求值 已知 cos φ＝4 5 ，当(1)φ∈ 0，π 2 ； (2)φ∈ 3π 2 ，2π 时，分别求 sin π 3 －φ . 思路分析：在已知 cos φ＝4 5 和φ的取值范围的前提下，要求 sin π 3 －φ ，只需把 sin φ求出再应用公式即可得出． 解：(1)∵cos φ＝4 5 ，又φ∈ 0，π 2 ， ∴sin φ＝ 1－cos2φ＝3 5 . ∴sin π 3 －φ ＝sinπ 3 cos φ－cosπ 3 sin φ ＝ 3 2 ×4 5 －1 2 ×3 5 ＝4 3－3 10 . (2)∵cos φ＝4 5 ，又φ∈ 3π 2 ，2π ， ∴sin φ＝－ 1－cos2φ＝－3 5 . ∴sin π 3 －φ ＝sinπ 3 cos φ－cosπ 3 sin φ ＝ 3 2 ×4 5 －1 2 × －3 5 ＝4 3＋3 10 . 1．已知 sin(α－β)·cos α－cos(α－β)·sin α＝m，且β为第三象限角，则 cos β等于__________． 答案：－ 1－m2 解析：∵ sin(α－β)· cos α－cos(α－β)· sin α ＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sin β＝m， ∴ sin β＝－m. 又 β 为第三象限角， ∴ cos β＝－ 1－sin2 β＝－ 1－m2. 2．已知α，β是锐角，且 sin α＝4 3 7 ，cos(α＋β)＝－11 14 ，求 sin β的值． 解：∵α是锐角，且 sin α＝4 3 7 ， ∴cos α＝ 1－sin2α＝ 1－ 4 3 7 2＝1 7 . 又∵cos(α＋β)＝－11 14 ，α，β均为锐角， ∴sin(α＋β)＝ 1－cos2 α＋β ＝5 3 14 . ∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5 3 14 ×1 7 － －11 14 ×4 7 3＝ 3 2 . (1)已知某些角的三角函数值，求其他角的三角函数值，解这类问题应 认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目地处理相关 角的三角函数式，以免造成求解时不必要的麻烦． (2)要注意观察和分析问题中涉及的角与角的内在联系，尽量整体地运用条件中给出的 三角函数值．在三角变换中，首先应考虑角的变换．根据题中的条件与结论来变，简单地说 就是“据果变形”，创造出利用三角公式的条件，以达到解题的目的，常见角变换有：α＝ (α＋β)－β，α＋2β＝(α＋β)＋β，α＝α＋β 2 ＋α－β 2 ，β＝α＋β 2 －α－β 2 ，2α ＝(α＋β)＋(α－β)等． (3)解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，从而恰当、准确地求出三角 函数值． 三、辅助角公式的应用 若函数 f(x)＝(1＋ 3tan x)cos x,0≤x＜π 2 . (1)把 f(x)化成 Asin(ωx＋φ)或 Acos(ωx＋φ)的形式； (2)判断 f(x)在 0，π 2 上的单调性，并求 f(x)的最大值． 思路分析：先用同角三角函数基本关系化简 f(x)，再把解析式 f(x)用构造辅助角法化 成 Asin(ωx＋φ)的形式，最后求单调性与最值． 解：(1)f(x)＝(1＋ 3tan x)· cos x ＝cos x＋ 3·sin x cos x · cos x＝cos x＋ 3sin x ＝2 1 2 cos x＋ 3 2 sin x ＝2 sinπ 6 cos x＋cosπ 6 sin x ＝2sin x＋π 6 . (2)∵0≤x＜π 2 ，∴f(x)在 0，π 3 上是单调增函数，在 π 3 ，π 2 上是单调减函数． ∴当 x＝π 3 时，f(x)有最大值为 2. 1．求函数 f(x)＝sin x＋ 3cos x 的最值、周期． 解：f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2 1 2 sin x＋ 3 2 cos x ＝2 sin xcosπ 3 ＋cos xsinπ 3 ＝2sin x＋π 3 . ∵x∈R，∴x＋π 3 ∈R. ∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2，T＝2π 1 ＝2π. 2．已知函数 f(x)＝2sin x＋π 6 －2cos x，x∈ π 2 ，π . (1)若 sin x＝4 5 ，求函数 f(x)的值； (2)求函数 f(x)的值域． 解：(1)∵ sin x＝4 5 ，x∈ π 2 ，π ， ∴ cos x＝－3 5 . ∵f(x)＝2 3 2 sin x＋1 2 cos x －2cos x＝ 3sin x－cos x. ∴当 sin x＝4 5 时，函数 f(x)＝ 3×4 5 － －3 5 ＝4 3＋3 5 . (2)f(x) ＝ 2sin x＋π 6 － 2cos x ＝ 3 sin x － cos x ＝ 2 3 2 sin x－1 2 cos x ＝ 2sin x－π 6 ， ∵π 2 ≤x≤π，∴π 3 ≤x－π 6 ≤5π 6 . ∴1 2 ≤ sin x－π 6 ≤1． ∴函数 f(x)的值域为[1,2]． 正确认识 f(x)＝asin x＋bcos x 及其应用： (1)asin x＋bcos x ＝ a2＋b2 a a2＋b2 sin x＋ b a2＋b2 cos x ， 令 cos φ＝ a a2＋b2 ，sin φ＝ b a2＋b2 ，则有 asin x＋bcos x＝ a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x) ＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝b a . (2)涉及到 asin x＋bcos x 的最值、图象等性质问题时，常利用两角和与差的三角函数 公式先把该式转化成 f(x)＝ a2＋b2·sin(x＋φ)的形式；再利用研究 y＝Asin(ωx＋φ)的 相关方法去处理 f(x)中的有关性质． 1．化简：cos π 3 ＋α ＋sin π 6 ＋α ＝__________. 答案：cos α 解析：原式＝cosπ 3 cos α－sinπ 3 sin α＋sinπ 6 cos α＋cosπ 6 sin α＝cos α. 2．计算： 2(sin 15°＋cos 15°)＝__________. 答案： 3 解析： 2(sin 15°＋cos 15°)＝2 2 2 sin 15°＋ 2 2 cos 15° ＝2(cos 45°sin 15°＋sin 45°cos 15°) ＝2×sin 60°＝ 3. 3．已知 sin α＝－1 3 ，cos β＝2 3 ，且α，β在同一象限，则 sin(α－β)的值是 __________． 答案：2 10－2 9 解析：∵sin α＝－1 3 ，cos β＝2 3 ，又α，β在同一象限， ∴α，β为第四象限角． ∴cos α＝2 2 3 ，sin β＝－ 5 3 . ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝－1 3 ×2 3 －2 2 3 × － 5 3 ＝2 10－2 9 . 4．函数 f(x)＝2sin x－2 3cos x，x∈R 的最大值是__________． 答案：4 解析：f(x)＝2sin x－2 3cos x＝4 1 2 sin x－ 3 2 cos x ＝4 sin xcosπ 3 －cos xsinπ 3 ＝4sin x－π 3 ， 故 f(x)的最大值是 4. 5．设△ABC 的三个内角为 A，B，C，向量 m＝( 3sin A，sin B)，n＝(cos B， 3cos A)， 若 m·n＝1＋cos(A＋B)，求 C 的度数． 解：m·n＝ 3sin Acos B＋ 3sin Bcos A ＝ 3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)． 又在△ABC 中，A＋B＝π－C， ∴ 3sin(π－C)＝1＋cos(π－C)， 即 3sin C＝1－cos C. ∴ 3sin C＋cos C＝2sin C＋π 6 ＝1． ∴sin C＋π 6 ＝1 2 . 又 C∈(0，π)，∴C＋π 6 ＝5π 6 .∴C＝2π 3 .