2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-6条件概率与事件的独立性正态分布练习苏教版 11页

‎11.6 条件概率与事件的独立性、正态分布 ‎ 考点一　条件概率、事件的独立性   ‎ ‎ ‎ ‎1.市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为,而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)的值为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3.甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,求:乙投篮次数不超过1次的概率. ‎ - 11 -‎ ‎【解析】1.选A.不合格小电器在网上购买的概率为×=,不合格小电器在实体店购买的概率为×=,所以这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是=.‎ ‎2.选C.因为P(B)=,P(AB)=,所以P(A|B)==.‎ ‎3.记“甲投篮投中”为事件A,“乙投篮投中”为事件B.‎ ‎“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况:一种是甲第1次投篮投中,另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中,‎ 所求的概率是P=P(A+·B+··A)=P(A)+‎ P(·B)+P(··A)=P(A)+P()·P(B)+‎ P()·P()·P(A)=+×+××=.‎ 所以乙投篮次数不超过1次的概率为.‎ ‎1.条件概率的3种求法 定义 法 先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)‎ 基本 事件 法 借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=‎ 缩样法 缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简 - 11 -‎ ‎2.相互独立事件同时发生的概率的两种求法 ‎(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式.‎ ‎(2)间接法:从对立事件入手计算.‎ 考点二　n次独立重复试验、二项分布 ‎ ‎【典例】1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为 (　　)‎ A.0.33 ‎B.0.66‎ C.0.5 D.0.45‎ ‎2.某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后2位)‎ ‎(1)5次预报中恰有2次准确的概率.‎ ‎(2)5次预报中至少有2次准确的概率.‎ ‎(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 种5棵成活4棵联想到n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式 ‎2‎ ‎(1)联想到用公式pk ‎(2)由“至少2次”联想到对立事件“最多1次”,即0次,1次 ‎(3)转化为4次独立重复试验恰好发生1次试验模型 ‎【解析】1.选A.根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为0.94(1-0.9)≈0.33.‎ ‎2.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X～B5,,故其分布列为P(X=k)=‎ k1-5-k(k=0,1,2,3,4,5).‎ ‎(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=‎ ‎2×1-3=10××≈0.05.‎ - 11 -‎ ‎(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=‎ ‎1-×0×1-5-××1-4=1-0.000 32-0.006 4≈0.99.‎ ‎(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为××1-3×≈0.02.‎ ‎1.熟记概率公式 ‎ n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为 pk(1-p)n-k.‎ ‎2.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 ‎(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.‎ ‎(2)各次试验中的事件是相互独立的.‎ ‎(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.‎ ‎1.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.如图,由题可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率.所求概率为P=×2×3=×5=.‎ - 11 -‎ ‎2.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)=________. ‎ ‎【解析】P(ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-p0·(1-p)2=,所以p=,P(η≥1)=1-P(η=0)‎ ‎=1-04=1-=.‎ 答案: ‎ ‎3.在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ,求ξ的分布列.‎ ‎【解析】随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ～B4,.所以P(ξ=k)=k1-4-k=4(k=0,1,2,3,4).‎ 所以变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 考点三　正态分布 ‎ 命 题 精 解 读 考什么:(1)正态曲线的应用.‎ ‎(2)正态分布与统计的综合应用.‎ 怎么考:正态分布作为考查数学应用意识的重要载体,在高考题中经常出现,试题常以选择题、填空题形式出现.‎ 学 霸 好 巧用正态曲线的性质解题 ‎(1)正态曲线关于直线x=μ对称,用此性质可以进行灵活转化.‎ ‎(2)正态曲线与x轴之间的面积是1.‎ - 11 -‎ 方 法 正态曲线的应用 ‎【典例】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)= (　　)‎ A.0.447 B.‎0.628 ‎ C.0.954 D.0.977‎ ‎2.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于‎58.5 kg小于等于‎62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是 (　　)‎ A.997 B‎.954 ‎ C.819 D.683‎ ‎【解析】1.选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,σ2), 所以正态曲线关于直线x=0对称.‎ 又P(ξ>2)=0.023,‎ 所以P(ξ<-2)=0.023.‎ 所以P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.‎ ‎2.选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,所以P(58.55)=1-P(33)=.‎ ‎2.随机变量X服从标准正态分布,则X的总体在区间(-3,3)内取值的概率为 ‎ (　　)‎ A.0.998 B.0.997‎ C.0.944 D.0.841‎ ‎【解析】选B.标准正态分布N(0,1),σ=1,区间(-3,3),即(-3σ,3σ),概率P=0.997.‎ ‎1.设随机变量ξ服从正态分布 N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,则Δ=4-4ξ<0,ξ>1,因为ξ～N(1,σ2),所以μ=1,P=.‎ ‎2.“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕, A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标, ‎ - 11 -‎ ‎(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;‎ ‎②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列.‎ 附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=≈11.95;‎ ‎②若Z～N(μ,σ2),‎ 则P(μ-σ