2020高中数学 第一章 常用逻辑用语 1 7页

‎1.3　简单的逻辑联结词 ‎1.3.1　‎且(and)‎ ‎1.3.2　‎或(or)‎ ‎1.3.3　‎非(not)‎ 学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．“且”‎ ‎(1)定义 一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．‎ ‎(2)真假判断 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．‎ ‎2．“或”‎ ‎(1)定义 一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．‎ ‎(2)真假判断 当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．‎ 思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？‎ ‎(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？‎ ‎[提示]　(1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．‎ ‎(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．‎ ‎3．“非”‎ ‎(1)定义 一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”．‎ ‎(2)真假判断 若p是真命题，则﹁p必是假命题；若p是假命题，则﹁p必是真命题．‎ 思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？‎ ‎[提示]‎ 7‎ ‎　(1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．‎ ‎(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．‎ ‎4．复合命题：‎ 用逻辑联结词“且”；“或”；“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题．‎ 复合命题的真假判断 p q p∨q p∧q ‎﹁p 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．(　　)‎ ‎(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．(　　)‎ ‎(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．(　　)‎ ‎(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．“xy≠‎0”‎是指(　　)‎ A．x≠0且y≠0‎ B．x≠0或y≠0‎ C．x，y至少一个不为0‎ D．x，y不都是0‎ A　[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.]‎ ‎3．已知p，q是两个命题，若“(﹁p)∨q”是假命题，则(　　) ‎ ‎【导学号：46342023】‎ A．p，q都是假命题 B．p，q都是真命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p是真命题，q是假命题 D　[若(﹁p)∨q为假命题，则﹁p，q都是假命题，即p真q假，故选D.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 7‎ 含有逻辑联结词的命题结构 ‎　指出下列命题的形式及构成它的简单命题．‎ ‎(1)方程x2－3＝0没有有理根；‎ ‎(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；‎ ‎(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．‎ ‎[解]　(1)这个命题是“非p”形式的命题，其中 p：方程x2－3＝0有有理根．‎ ‎(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．‎ ‎(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程 x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．‎ ‎[规律方法]　1.判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．‎ ‎2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”形式的命题．‎ ‎(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；‎ ‎(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. ‎ ‎【导学号：46342024】‎ ‎[解]　(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．‎ p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．‎ ‎﹁p：梯形没有一组对边平行．‎ ‎(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．‎ p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．‎ ‎﹁p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.‎ 含逻辑联结词命题的真假判断 ‎　已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：‎ ‎①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)．‎ 则其中真命题的个数为(　　)‎ 7‎ A．1　 B．‎2　‎　　C．3　　　D．4‎ ‎[思路探究]　→→ ‎[解析]　由于Δ＝(－‎2a)2－4×1×(－1)＝‎4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f(x)＝x＋<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C．‎ ‎[答案]　C ‎[规律方法]　 含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤 ‎(1)我们可以用口诀记忆法来记忆：‎ ‎“p且q”全真才真，一假必假；“p或q”全假才假，一真必真；“非p”与p真假相对．‎ ‎(2)判断复合命题真假的步骤：‎ ‎①确定复合命题的构成形式是“p且q”“p或q”还是“﹁p”；‎ ‎②判断其中的简单命题p，q的真假；‎ ‎③根据真值表判断复合命题的真假．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ C　[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③﹁q为真命题，则p∧(﹁q)为真命题，④﹁p为假命题，则(﹁p)∨q为假命题．]‎ ‎(2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题的真假. ‎ ‎【导学号：46342025】‎ ‎(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；‎ ‎(2)p：2是奇数，q：2是合数；‎ ‎(3)p：4≥4，q：23不是偶数；‎ ‎(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－25或x<－2}．‎ ‎[解]　(1)∵p是假命题，q是真命题，‎ ‎∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，﹁p是真命题．‎ ‎(2)∵p是假命题，q是假命题，‎ ‎∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，﹁p是真命题．‎ ‎(3)∵p是真命题，q是真命题，‎ 7‎ ‎∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，﹁p是假命题．‎ ‎(4)∵p是真命题，q是假命题，‎ ‎∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，﹁p是假命题.‎ 由复合命题的真假求参数的取值范围 ‎[探究问题]‎ ‎1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？‎ 提示：p为假命题时，参数的取值范围是∁RA.‎ ‎2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时参数的取值范围分别是什么？‎ 提示：当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B.‎ 当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B.‎ ‎　已知p：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．‎ ‎[思路探究]　→→ ‎[解]　当x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根为真时，解之得m>2，‎ 当4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根为真时，16(m－2)2－16<0，解之得12，当q为真时11，‎ 当p∧q为真命题时，21(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q改为“函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R”．其他不变，试求a的取值范围．‎ ‎[解]　根据关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集为{x|x<0}知00的解集为R，则解得a>.‎ 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题．‎ 所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”．‎ 故或 解得01.‎ 所以，a的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ ‎[规律方法]　根据命题的真假求参数范围的步骤 ‎(1)求出p、q均为真时参数的取值范围；‎ ‎(2)根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；‎ ‎(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．若命题“p∧q”为假，且﹁p为假，则(　　)‎ A．p∨q为假　　　　 B．q假 C．q真 D．p假 B　[由﹁p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B.]‎ ‎2．给出下列命题：‎ ‎①2>1或1>3；‎ ‎②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；‎ ‎③25是6或5的倍数；‎ ‎④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A．1　 B．‎2　‎　　C．3　　　D．4‎ D　[对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故④是真命题，故选D.]‎ ‎3．已知命题：‎ p：对任意x∈R，总有2x>0；‎ q：“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件．‎ 则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q　　　　　　 B．﹁p∧﹁q 7‎ C．﹁p∧q D．p∧﹁q D　[因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、﹁p为假命题，﹁q为真命题，﹁p∧﹁q、﹁p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，故选D.]‎ ‎4．已知命题p：函数f(x)＝(‎2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：46342026】‎ 　[p为真时，‎2a－1<0，即a<，‎ q为真时，－≤1，即a≥－2，‎ 则p∧q为真时，－2≤a<.]‎ ‎5．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题的真假：‎ ‎(1)p：点P(1,1)在直线2x＋y－1＝0上，q：直线y＝x过圆x2＋y2＝4的圆心；‎ ‎(2)p：4∈{2,3,4}，q：不等式x2－x－2＞0的解集为{x|－2＜x＜1}；‎ ‎(3)p：若a＞b，则‎2a＞2b，q：若a＞b，则a3＞b3.‎ ‎[解]　(1)∵p是假命题，q是真命题，‎ ‎∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，﹁p为真命题．‎ ‎(2)∵p是真命题，q是假命题，‎ ‎∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，﹁p为假命题．‎ ‎(3)∵p是真命题，q是真命题，‎ ‎∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，﹁p为假命题．‎ 7‎