2020年高中数学第一章集合与函数概念1 5页

‎1.3.2‎‎ 奇偶性 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下面四个命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝，故①错误，③正确．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，如y＝，故②错误．若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如f(x)＝＋，其定义域为{－1,1}，故④错误．故选A.‎ 答案：A ‎2．若奇函数f(x)在区间[3,7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[－7，－3]上有(　　)‎ A．最小值5 B．最小值－5‎ C．最大值－5 D．最大值5‎ 解析：当3≤x≤7时，f(x)≥5，‎ 设－7≤x≤－3，则3≤－x≤7，又∵f(x)是奇函数．‎ ‎∴f(x)＝－f(－x)≤－5.‎ 答案：C ‎3．y＝x＋的大致图象是(　　)‎ 解析：设f(x)＝x＋，则f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)‎ ‎∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．‎ 5‎ 又x>0时，x>0，>0，∴f(x)＝x＋>0.‎ 答案：B ‎4．f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 解析：函数定义域为x∈R，关于原点对称．‎ ‎∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)‎ ‎∴f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是偶函数．‎ 答案：B ‎5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，‎ 则f(－1)＝(　　)‎ A．3 B．1‎ C．－1 D．－3‎ 解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.‎ 答案：D ‎6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则x<0时，f(x)的解析式为________．‎ 解析：设x＜0，则－x>0，∵f(x)是奇函数，‎ ‎∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－(x2＋4x)＝－x2－4x.‎ 答案：f(x)＝－x2－4x ‎7．已知f(x)是奇函数，F(x)＝x2＋f(x)，f(2)＝4，则F(－2)＝________.‎ 解析：∵f(x)是奇函数且f(2)＝4，∴f(－2)＝－f(2)＝－4.‎ ‎∴F(－2)＝f(－2)＋(－2)2＝－4＋4＝0.‎ 答案：0‎ ‎8．已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)，‎ f(－π)，f(3)的大小关系是________．‎ 解析：本题是利用函数的单调性比较函数值的大小．当自变量的值不在同一区间上时，利用函数的奇偶性，化到同一单调区间上比较其大小．因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，2＜3＜π，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，‎ 所以f(－2)＜f(3)＜f(－π)．‎ 答案：f(－2)＜f(3)＜f(－π)‎ 5‎ ‎9．已知函数f(x)和g(x)满足f(x)＝‎2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．‎ 解析：∵f(－1)＝‎2g(－1)＋1＝8，‎ ‎∴g(－1)＝，‎ 又∵g(x)为奇函数，‎ ‎∴g(－1)＝－g(1)．‎ ‎∴g(1)＝－g(－1)＝－，‎ ‎∴f(1)＝‎2g(1)＋1＝2×＋1＝－6.‎ ‎10．函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，‎ 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并证明．‎ 解析： (1)令x1＝x2＝1，‎ 有f(1×1)＝f (1)＋f(1)，解得f(1)＝0.‎ ‎(2)f(x)为偶函数，证明如下：‎ 令x1＝x2＝－1，‎ 有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.‎ 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，‎ 所以f(－x)＝f(x)．所以f(x)为偶函数．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．函数f(x)＝是(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶 解析：∵ ‎∴f(x)的定义域为x∈[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．‎ 此时f(x)＝＝.‎ 又f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)＝为奇函数．‎ 答案：A 5‎ ‎2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f(2x－1)＜f的 x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递增，‎ ‎∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，‎ ‎∴－＜2x－1＜，‎ 解得＜x＜.‎ 答案：A ‎3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.‎ 解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，‎ 又∵f(x)是R上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，‎ ‎∴f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎∴f(7)＝f(－1)＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．‎ 解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)‎ 在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，‎ 得－2