【数学】2021届一轮复习北师大版（理）26简单的三角恒等变换作业 8页

简单的三角恒等变换 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)‎ A．1　　　 B．－‎1　‎　　‎ C．　　　 D．0‎ B　[∵sin＝cos，‎ ‎∴cos α－sin α＝cos α－sin α，‎ 即sin α＝cos α，‎ ‎∴tan α＝＝－1.]‎ ‎2．求值：＝(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C. D. C　[原式＝ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.]‎ ‎3．(2019·杭州模拟)若sin＝，则cos等于(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. A　[cos＝cos ‎＝－cos＝－ ‎＝－＝－.]‎ ‎4．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ B　[由tan α＝，得＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝.]‎ ‎5．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于(　　)‎ A. B．－ ‎ C. D．－ B　[f(x)＝5cos x＋12sin x ‎＝13＝13sin(x＋α)，‎ 其中sin α＝，cos α＝，由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，得θ＝2kπ－－α(k∈Z)，‎ 所以cos θ＝cos＝cos ‎＝－sin α＝－.]‎ 二、填空题 ‎6．化简：＝________.‎ ‎4sin α　[＝ ‎＝＝4sin α.]‎ ‎7．已知方程x2＋3ax＋‎3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________.‎ ‎－π　[依题意有 ‎∴tan(α＋β)＝＝＝1.‎ 又 ‎∴tan α＜0且tan β＜0，‎ ‎∴－＜α＜0且－＜β＜0，‎ 即－π＜α＋β＜0，‎ 结合tan(α＋β)＝1，‎ 得α＋β＝－.]‎ ‎8．函数y＝sin xcos的最小正周期是________．‎ π　[y＝sin xcos＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－·＝sin－，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝2sin xsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)当x∈时，2x－∈，‎ sin∈，f(x)∈.‎ 故f(x)的值域为.‎ ‎10．已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝sin2x＋sin xcos x ‎＝－cos 2x＋sin 2x ‎＝sin＋，‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin＋.‎ 由题意知－≤x≤m，‎ 所以－≤2x－≤‎2m－.‎ 要使f(x)在区间上的最大值为，‎ 即sin在区间上的最大值为1，‎ 所以‎2m－≥，‎ 即m≥.‎ 所以m的最小值为.‎ ‎1．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)‎ A. B.或－ C.－或 D.－ D　[由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝‎ eq f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝，且tan α＜0，tan β＜0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.]‎ ‎2．已知cos＝－，则sin的值为(　　)‎ A. B．± ‎ C．－ D. B　[∵cos＝－，‎ ‎∴cos＝－cos ‎＝－cos＝－＝－，‎ 解得sin2＝，‎ ‎∴sin＝±.]‎ ‎3．已知A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，则cos＝________.‎ 　[因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，‎ 所以＜A＋B＜π，＜B＋＜π，‎ 所以sin(A＋B)＝＝，cos＝－＝－，‎ 可得cos＝cos＝－×＋×＝.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若sin α＝，且α∈，求f.‎ ‎[解]　(1)f＝cos2＋sin cos ‎＝2＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x ‎＝＋sin 2x ‎＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，‎ 所以f＝＋sin ‎＝＋sin＝＋.‎ 又因为sin α＝，且α∈，‎ 所以cos α＝－，‎ 所以f＝＋ ‎＝.‎ ‎1．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.‎ ‎－　[∵α∈，－α∈，‎ cos＝，∴sin＝－，‎ ‎∵sin＝－，∴sin＝，‎ 又∵β∈，＋β∈，‎ ‎∴cos＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos ‎＝×－×＝－.]‎ ‎2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．‎ ‎(1)求sin 2α－tan α的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－‎2f2(x)在区间上的值域．‎ ‎[解]　(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ ‎∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.‎ ‎(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，‎ ‎∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.‎ ‎∵0≤x≤，‎ ‎∴－≤2x－≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴－2≤2sin－1≤1，‎ 故函数g(x)＝f－‎2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．‎