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  • 2021-06-09 发布

2021高考数学一轮复习第2章函数第2节函数的单调性与最值教学案文北师大版

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第二节 函数的单调性与最值 ‎[最新考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.‎ ‎(对应学生用书第13页)‎ ‎1.函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间A上是增加的 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间A上是减少的 图像 描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 ‎(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或减少的,那么称A为单调区间.‎ ‎2.函数的最值 前提 函数y=f(x)的定义域为D 条件 ‎(1)存在x0∈D,使得f(x0)=M;‎ ‎(1)存在x0∈D,使得f(x0)=M;‎ ‎(2)对于任意x∈D,都有f(x)≤M ‎(2)对于任意x∈D,都有f(x)≥M 结论 M为最大值 M为最小值 ‎1.函数单调性的结论 ‎(1)对任意x1,x2∈D(x1≠x2),>0⇔f(x)在D上是增函数;<0⇔f(x)在D上是减函数.‎ ‎(2)对勾函数y=x+(a>0)的增区间为(-∞,-]和[,+∞),减区间为[-,0)和(0,].‎ - 10 -‎ ‎(3)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.‎ ‎(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.‎ ‎2.函数最值存在的两个结论 ‎(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.‎ ‎(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (  )‎ ‎(2)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. (  )‎ ‎(3)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). (  )‎ ‎(4)闭区间上的单调函数的最值一定在区间端点取到. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)× (3)× (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上(  )‎ A.递减     B.递增 C.先递减后递增 D.先递增后递减 C [因为函数y=x2-6x+10的图像为抛物线,且开口向上,对称轴为直线x=3,所以函数y=x2-6x+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数.]‎ ‎2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是(  )‎ A.y=|x| B.y=3-x C.y= D.y=-x2+4‎ A [y=3-x在R上递减,y=在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递减,故选A.]‎ ‎3.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是________.‎  [因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+1<0,即k<-.]‎ ‎4.已知函数f(x)=,x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为________.‎ - 10 -‎ ‎2  [易知函数f(x)=在x∈[2,6]上为减函数,故f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=.]‎ ‎(对应学生用书第14页)‎ ‎⊙考点1 确定函数的单调性(区间)‎ ‎ 确定函数单调性的四种方法 ‎(1)定义法.利用定义判断.‎ ‎(2)导数法.适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.‎ ‎(3)图像法.由图像确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图像不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.‎ ‎(4)性质法.利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性.‎ ‎ 求函数的单调区间 ‎(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是(  )‎ A.     B.和[2,+∞)‎ C.(-∞,1]和 D.和[2,+∞)‎ ‎(2)函数y=的单调递增区间为________,单调递减区间为________.‎ ‎(1)B (2)[2,+∞) (-∞,-3] [(1)y=|x2-3x+2|= 其图像如图所示,函数的单调递增区间是和[2,+∞).故选B.‎ ‎(2)令u=x2+x-6,‎ 则y=可以看作是由y=与u=x2+x-6复合而成的函数.‎ 令u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.‎ 易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y=在[0,+∞)上是增函数,‎ 所以y=的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).]‎ ‎(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.如本例(2).‎ ‎(2)求复合函数的单调区间的一般步骤:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”,如本例(2).‎ - 10 -‎ ‎ 含参函数的单调性 ‎ [一题多解]判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1<a<3)在x∈[1,2]上的单调性.‎ ‎[解] 法一:(定义法)任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=ax+- ‎=(x2-x1),‎ 由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,‎ ‎1<x1x2<4,-1<-<-.‎ 又1<a<3,‎ 所以2<a(x1+x2)<12,‎ 得a(x1+x2)->0,从而f(x2)-f(x1)>0,‎ 即f(x2)>f(x1),‎ 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增.‎ 法二:(导数法)因为f′(x)=2ax-=,‎ 因为1≤x≤2,∴1≤x3≤8,‎ 又1<a<3,‎ 所以2ax3-1>0,‎ 所以f′(x)>0,‎ 所以函数f(x)=ax2+(其中1<a<3)在[1,2]上是增函数.‎ ‎ 定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).‎ ‎ 1.函数y=-x2+2|x|+3的递增区间为________.‎ ‎(-∞,-1],[0,1] [由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次函数的图像如图.‎ 由图像可知,函数y=-x2+2|x|+3的递增区间为(-∞,-1],[0,1].]‎ ‎2.判断并证明函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.‎ - 10 -‎ ‎[解] 法一:(定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,‎ f(x)=a=a,‎ f(x1)-f(x2)=a-a ‎=,由于-1<x1<x2<1,‎ 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,‎ 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,‎ 即f(x1)>f(x2),‎ 函数f(x)在(-1,1)上递减;‎ 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),‎ 函数f(x)在(-1,1)上递增.‎ 法二:(导数法)f′(x)==,‎ 所以当a>0时,f′(x)<0,当a<0时,f′(x)>0,‎ 即当a>0时,f(x)在(-1,1)上为单调减函数,‎ 当a<0时,f(x)在(-1,1)上为单调增函数.‎ ‎⊙考点2 函数的最值 ‎ 求函数最值的五种常用方法及其思路 ‎(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.‎ ‎(2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值.‎ ‎(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.‎ ‎(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.‎ ‎(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.‎ ‎(1)若函数f(x)=的最小值为f(0),则实数a的取值范围是(  )‎ A.[-1,2] B.[-1,0]‎ C.[1,2] D.[0,2]‎ ‎(2)函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.‎ ‎(3)函数y=-x(x≥0)的最大值为________.‎ ‎(1)D (2)3 (3) [(1)当x>0时,f(x)=x++a≥2+a,当且仅当x=,即x=1时,等号成立.‎ 故当x=1时取得最小值2+a,‎ - 10 -‎ ‎∵f(x)的最小值为f(0),‎ ‎∴当x≤0时,f(x)=(x-a)2单调递减,故a≥0,‎ 此时的最小值为f(0)=a2,故2+a≥a2,得-1≤a≤2.‎ 又a≥0,得0≤a≤2.故选D.‎ ‎(2)∵f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递减,∴f(x)max=f(-1)=3-log21=3.‎ ‎(3)令t=,则t≥0,所以y=t-t2=-+,当t=,即x=时,ymax=.]‎ ‎[逆向问题] ‎ 若函数f(x)=-+b(a>0)在上的值域为,则a=________,b=________.‎ ‎1  [∵f(x)=-+b(a>0)在上是增函数,‎ ‎∴f(x)min=f=,f(x)max=f(2)=2.‎ 即解得a=1,b=.]‎ ‎(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.如本例(3).‎ ‎(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.如例(1).‎ ‎(3)若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值.如本例(2);若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.‎ ‎ 1.函数f(x)=的值域为________.‎ ‎(-∞,-4]∪[4,+∞) [当x>0时,f(x)=x+≥4,‎ 当且仅当x=2时取等号;‎ 当x<0时,-x+≥4,‎ 即f(x)=x+≤-4,‎ 当且仅当x=-2时取等号,‎ - 10 -‎ 所以函数f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).]‎ ‎2.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________.‎ ‎1 [法一:(图像法)‎ 在同一坐标系中,作函数f(x),g(x)图像,‎ 依题意,h(x)的图像如图所示.‎ 易知点A(2,1)为图像的最高点,‎ 因此h(x)的最大值为h(2)=1.‎ 法二:(单调性法)依题意,h(x)= 当0<x≤2时,h(x)=log2 x是增函数,‎ 当x>2时,h(x)=3-x是减函数,‎ 所以h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1.]‎ ‎⊙考点3 函数单调性的应用 ‎ 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 ‎(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.‎ ‎(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.‎ ‎(3)利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图像或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.‎ ‎ 比较大小 ‎ 已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.c>a>b    B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c D [根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数.所以a=f=f,f(2)>f(2.5)>f(3),所以b>a>c.]‎ ‎ 本例先由[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0得出f(x)在(1,+∞)上是减函数,然后借助对称性,化变量-,2,3于同一单调区间,并借助单调性比较大小.‎ ‎ 解不等式 - 10 -‎ ‎ 求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x)).此时要特别注意函数的定义域.‎ ‎ 定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且f(a2-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为(  )‎ A.[-1,2) B.[0,2)‎ C.[0,1) D.[-1,1)‎ C [因为函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,‎ 所以函数在[-2,2]上单调递增,‎ 所以-2≤2a-2<a2-a≤2,解得0≤a<1,故选C.]‎ ‎ 本例在求解时,应注意隐含条件为a2-a∈[-2,2],2a-2∈[-2,2].‎ ‎[教师备选例题]‎ f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,则不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集为________.‎ ‎(8,9] [因为2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),‎ 由f(x)+f(x-8)≤2可得f[x(x-8)]≤f(9),f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有解得8