2020高中数学 章末综合测评1 解三角形 新人教A版必修5 9页

章末综合测评(一)　解三角形 满分：150分　时间：120分钟 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　) ‎ ‎【导学号：91432101】‎ A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．无数个 A　[由正弦定理得＝，‎ 所以sin B＝＝>1，即sin B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]‎ ‎2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(　　)‎ A．90° B．120°‎ C．135° D．150°‎ B　[设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]‎ ‎3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝(　　) ‎ ‎【导学号：91432102】‎ A.或 B. C. D. C　[由＝，得sin C＝.‎ ‎∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.]‎ ‎4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝(　　)‎ A．± B. C．－ D. A　[因为＝，所以＝，‎ - 9 -‎ 解得sin B＝. ‎ 因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±.]‎ ‎5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　) ‎ ‎【导学号：91432103】‎ A．6∶5∶4 B．7∶5∶3‎ C．3∶5∶7 D．4∶5∶6‎ B　[∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，‎ ‎∴＝＝.‎ 令＝＝＝k(k>0)，‎ 则解得 ‎∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]‎ ‎6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　)‎ A. B．1＋ C. D．2 B　[∵S△ABC＝acsin B，∴ac＝6.‎ 又∵b2＝a2＋c2－2accos B ‎＝(a＋c)2－‎2ac－‎2ac·cos 30°＝4b2－12－6，‎ ‎∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.]‎ ‎7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：91432104】‎ A．(2，＋∞) B．(－∞，0)‎ C. D. D　[由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)，‎ ‎∵即 ‎∴k>.]‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为(　　)‎ - 9 -‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 B　[由已知可得＝－，‎ 即cos A＝，b＝ccos A.‎ 法一：由余弦定理得cos A＝，则b＝c·，‎ 所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．‎ 法二：由正弦定理，得sin B＝sin Ccos A.‎ 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，‎ 从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A，‎ 即sin Acos C＝0.在△ABC中，sin A≠0，‎ 所以cos C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．]‎ ‎9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　) ‎ ‎【导学号：91432105】‎ A．2 B．8 C. D. C　[∵＝＝＝2R＝8，‎ ‎∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝.]‎ ‎10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(　　)‎ A. B. C. D. B　[∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°.‎ 由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝‎5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝.]‎ - 9 -‎ ‎11．如图16，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为(　　) ‎ ‎【导学号：91432106】‎ 图16‎ A.小时 B．1小时 C.小时 D．2小时 B　[在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．]‎ 图17‎ ‎12．如图17，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为(　　)‎ A. B. C. D. D　[设BD＝a，则BC＝‎2a，AB＝AD＝a.‎ 在△ABD中，由余弦定理，得 cos A＝＝＝.‎ 又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理得，＝.‎ - 9 -‎ ‎∴sin C＝·sin A＝·＝.]‎ 二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________. ‎ ‎【导学号：91432107】‎ a2＋b20，‎ 故cos B＝，所以B＝45°.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.‎ ‎(1)若b＝4，求sin A的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．‎ ‎[解]　(1)∵cos B＝>0，且0