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- 2021-06-10 发布
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专练61 二项式定理
命题范围:二项式定理
一、选择题
1.5的展开式中x4的系数为( )
A.10 B.20
C.40 D.80
2.5的展开式中的常数项为( )
A.80 B.-80
C.40 D.-40
3.[2020·全国卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )
A.12 B.16
C.20 D.24
4.若(x+2)5展开式中的常数项为80,则a=( )
A.-2 B.2
C.±2 D.4
5.[2020·山西太原高三测试]若(x-2y)6的展开式中的二项式系数和为S,x2y4的系数为P,则为( )
A. B.
C.120 D.240
6.[2020·天水一中高三测试]在二项式n的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
7.[2020·全国卷Ⅰ](x+y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.5 B.10
C.15 D.20
8.设S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1,则S=( )
A.(x-2)4 B.(x-1)4
C.x4 D.(x+1)4
9.若(x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )
A.-16 B.16
C.-1 D.+1
二、填空题
10.[2019·天津卷]8的展开式中的常数项为________.
11.[2019·浙江卷]在二项式(+x)9的展开式中,常数项是______________,系数为有理数的项的个数是______________.
12.[2020·全国卷Ⅲ]6的展开式中常数项是______(用数字作答).
专练61 二项式定理
1.C 由展开式的通项Tr+1=C(x2)5-r·(2x-1)r=2rCx10-3r,令10-3r=4,得r=2,
∴x4的系数为C·22=40.
2.C 由二项展开式通项知Tr+1=(-2)rC·(x2)5-rr=(-2)rCx10-5r,令10-5r=0,得r=2.
∴常数项为T3=(-2)2C=40.
3.A 本题主要考查二项展开式通项公式的应用,考查的核心素养是数学运算.
展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成,则x3的系数为C+2C=4+8=12.
4.B 5的展开式的通项公式为Tr+1=C·(-1)r·a5-r·x2r-5,显然,2r-5为奇数,故(x+2)5展开式中的常数项为C·a3=80,所以a=2.
5.B 由题意得S=26=64,P=C(-2)4=15×16=240,∴==.
6.B 在n的展开式中令x=1,得A=4n,各项二项式系数之和为B=2n,由 4n+2n=72,得n=3,∴n=3,其通项为Tr+1=C()3-rr=3rCx,令=0,得r=1,故展开式的常数项为T2=3C=9.
7.C 本题考查二项式定理.要求(x+y)5的展开式中x3y3的系数,只要分别求出(x+y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可,由二项式定理可得(x+y)5的展开式中x2y3的系数为C=10,x4y的系数为C=5,故(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15.故选C.
8.C S=C(x-1)4+C(x-1)3+C(x-1)2+C(x-1)1+C(x-1)0=(x-1+1)4=x4.
9.B 由(x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,
令x=1得a0+a1+a2+a3+a4=(1+)4,
令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4=(-1)4,
又(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)
=(+1)4(-1)4=24=16.
10.28
解析:本题主要考查二项式定理的应用,考查的核心素养是数学运算.
二项展开式的通项Tr+1=C(2x)8-rr=r·28-r·Cx8-4r,令8-4r=0可得r=2,故常数项为2×26×C=28.
11.16 5
解析:本题主要考查二项式定理的应用,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.
该二项展开式的第k+1项为Tk+1=C()9-kxk,当k=0时,第1项为常数项,所以常数项为()9=16;当k=1,3,5,7,9时,展开式的项的系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数为5.
12.240
解析:展开式的通项为Tr+1=C(x2)6-r·r=2rCx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,故常数项为24C=240.
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