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- 2021-06-10 发布
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专练31 等比数列及其前n项和
命题范围:等比数列的概念与性质、等比数列的通项公式、前n项和公式
[基础强化]
一、选择题
1.[2020·广东惠州一调]等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若S6=9S3,S5=62,则a1=( )
A. B.2
C. D.3
2.[2020·福建宁德质检]已知等比数列{an}满足a1=,4a2a4=4a3-1,则a2=( )
A.± B.
C.± D.
3.等比数列{an}中,若an>0,a2a4=1,a1+a2+a3=7,则公比q=( )
A. B.
C.2 D.4
4.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=( )
A.7 B.8
C.15 D.16
5.[2020·长沙市长郡中学高三测试]设{an}是公比为q>1的等比数列,若a2 010和a2 011是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2 012+a2 013=( )
A.18 B.10
C.25 D.9
6.[2020·张家界高三测试]已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-,则当Tn取得最大值时,n的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
7.[2020·广东七校联合体二联]已知等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值为( )
A.12 B.-
C.1或- D.-1或
8.在等比数列{an}中,a2=,a3=,则=( )
A. B.
C. D.
9.[2020·山东青岛测试]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为( )
A.10 B.15
C.20 D.25
二、填空题
10.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________.
11.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.
12.设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=________.
[能力提升]
13.[2020·全国卷Ⅱ]数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
14.[2020·湖南湘潭高三测试]设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
15.[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,a=a6,则S5=________.
16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
专练31 等比数列及其前n项和
1.B 由题意可得即得选B.
2.A 因为4a2a4=4a3-1,所以4aq4=4a1q2-1,又a1=,解得q=±2,所以a2=a1·q=×(±2)=±.故选A.
3.B 由等比数列的性质得a=a2a4=1,结合an>0,得a3=1.由a1+a2+a3=7,得++a3=7,则+=6,结合q>0,得q=,故选B.
4.C ∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3.又{an}为等比数列,∴4q=4+q2,∴q=2.又a1=1,
∴S4===15.
5.A 由题意可得:a2010=,a2011=,又{an}为等比数列,
∴q=3.
∴a2012+a2013=+=18.
6.C 设等比数列{an}的公比为q,则a4=-24q3=-,q3=,q=,此等比数列各项均为负数,当n为奇数时,Tn为负数,当n为偶数时,Tn为正数,所以Tn取得最大值时,n为偶数,排除B,而T2=(-24)2×=24×8=192,
T4=(-24)46=84×=>192,
T6=(-24)615=86×9==×<,T4最大,选择C.
7.C 若q=1,因为a3=7,所以S3=3×7=21,符合题意;若q≠1,则,解得q=-.所以公比q的值为1或-,故选C.
8.D ∵{an}为等比数列,∴q==,
又===.
9.C 由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.于是a9+a10+a11+a12=S12-S8==S4++10≥2+10=20,当且仅当S4=5时等号成立.所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.故选C.
10.32
解析:设{an}的首项为a1,公比为q,则
解得所以a8=×27=25=32.
11.50
解析:∵{an}为等比数列,∴a10a11=a9a12,
又a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11=e5,
∴lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2……a20)=ln(a10·a11)10=ln(e5)10=lne50=50
12.-8
解析:由{an}为等比数列,设公比为q.
即
显然q≠1,a1≠0,
得1-q=3,即q=-2,代入①式可得a1=1,
所以a4=a1q3=1×(-2)3=-8.
13.C 由am+n=aman,令m=1可得an+1=a1an=2an,∴数列{an}是公比为2的等比数列,∴an=2×2n-1=2n.则ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1+2k+2+…+2k+10==2k+11-2k+1=215-25,∴k=4.故选C.
14.D ∵a1=1,q=,
∴Sn==3=3-2·n-1=3-2an
15.
解析:本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.
通解:设等比数列{an}的公比为q,因为a=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1,又a1=,所以q=3,所以S5===.
优解:设等比数列{an}的公比为q,因为a=a6,所以a2a6=a6,所以a2=1,又a1=,所以q=3,所以S5===.
16.64
解析:设等比数列{an}的公比为q,
∴
即解得
∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)
=
=,
当n=3或4时,取到最小值-6,此时取到最大值26,所以a1a2…an的最大值为64.
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