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- 2021-06-10 发布
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第2讲 简单组合体的结构特征
¤学习目标:认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
¤知识要点:
观察周围的物体,大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的,这些几何体称为组合体.
¤例题精讲:
【例1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解:在长方体中,取四棱锥,它的四个侧面都是直角三角形. 选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,求球的半径.
解:圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得
梯形腰长为R+r,梯形的高即球的直径为,
所以,球的半径为.
【例3】圆锥底面半径为1cm,高为cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.
S
D
E
O
C1
C
F
D1
解:过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDD1C1,如图所示.
设正方体棱长为x,则CC1=x,C1D1。
作SOEF于O,则SO,OE=1,
, ∴ ,即.
∴ , 即内接正方体棱长为cm.
点评:此题也可以利用而求. 两个几何体相接、相切的问题,关键在于发现一些截面之间的图形关系. 常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似,利用相似比列出方程而求. 注意截面图形中各线段长度的计算.
P
C
A
D
B
H
O
E
F
G
【例4】以正四棱台(底面为正方形,各个侧面均为全等的等腰梯形)为模型,验证棱台的平行于底面的截面的性质:
设棱台上底面面积为S1,下底面面积为S2,平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m∶n,则截面面积S满足下列关系:.
当m=n时,则(中截面面积公式).
解:如图,ABCD是正四棱台的相对侧面正中间的截面,延长两腰交于P,平行于底面的截面为EF.
根据棱台上下底面与平行于底面的截面相似的性质,上底面、下底面、截面的相似比为.
设PH=h,OH=x,则,
.
∴ ,
即. 当m=n时,则.
2
点评:利用台体平行于底面的截面与底面的相似,把面积比转化为相似比,与对应高之比紧密联系,还要求具有较强的字母代数运算能力. 关于棱台的平行于底面的截面性质这一结论,也可推广到圆台. 我们应特别重视中截面的性质,可以结合梯形的中位线对中截面公式进行理解.
2
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