2021届高考数学一轮复习第一章集合与逻辑用语第3讲充分条件与必要条件课件 27页

第 3 讲　充分条件与必要条件 课标要求 考情风向标 理解必要条件、充分 条件与充要条件的 意义，会分析四种命 题的相互关系 . 充分条件、必要条件以其独特的表达形式 成为高考命题的亮点 . 常以选择题、填空题 的形式出现，作为一个重要载体，考查的 数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各 个方面 充要关系 的判定 若 p ⇒ q p 是 q 的充分条 件 q 是 p 的必要条 件 若 p ⇔ q p 是 q 的充要条 件 q 也是 p 的充要条件 定义法 等价法 ( 利用逆否命题 ) 集合法 ( 利用子集、真子集关系 ) 1. “ x ＝ 1 ” 是 “ x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 ” 的 ( 　　 ) A A. 充要条件 C. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.(2017 年北京 ) 设 m ， n 为 非零向量，则“存在负数 λ ，使 ) 得 m ＝ λ n ” 是“ m·n <0” 的 ( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不 充分条件 D. 既不充分也不必要条件 A 3. (2019 年上海 ) 已知 a ， b ∈ R ，则 “ a 2 > b 2 ” 是 “ | a |>| b | ” 的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 C D.既非充分又非必要条件 解析： ∵ a 2 > b 2 ⇔ | a | 2 >| b | 2 ，得 “ | a |>| b | ” ， ∴ “ a 2 > b 2 ”是“ | a |>| b | ” 的充要条件，故选 C. 4. 设 x >0 ， y ∈ R ，则“ x > y ” 是“ x >| y |” 的 ( ) C A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 3>－4,3<|－4|，∴ 充分 性不成立； x >| y | ≥ y ⇒ x > y ，必 要性成立.故选 C. 考点 1 利用定义法判断充要关系 例 1 ： (1) (2018 年天津 ) 设 x ∈ R ，则 “ x 3 >8 ”是“ | x |>2 ” 的 ( 　　 ) A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 求解不等式 x 3 >8 可得 x >2 ，求解绝对值不等式 | x |>2 可得 x >2 或 x < － 2 ，据此可知：“ x 3 >8” 是“ | x |>2” 的充分而不 必要条件 . 故选 A. 答案： A (2)(2018 年北京 ) 设 a ， b ， c ， d 是非零实数，则“ ad ＝ bc ” 是“ a ， b ， c ， d 成等比数列”的 ( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： “ ad ＝ bc ” 不能推出“ a ， b ， c ， d 成等比数列”， 如 1×8 ＝ 4×2 ，而 1,4,2,8 不是等比数列；若 a ， b ， c ， d 成等 数列”的必要而不充分条件 . 故选 B. 答案： B (3)(2019 年新课标 Ⅱ ) 设 α ， β 为两个平面，则 α ∥ β 的充要条 件是 ( ) A. α 内有 无数条直线与 β 平行 B. α 内有两条相交直线与 β 平行 C. α ， β 平行于同一条直线 D. α ， β 垂直于同一平面 解析： α 内有两条相交直线与 β 平行，则根据面面平行的判 定定理 α ∥ β ，显然 B 正确 . 答案： B (4)(2018 年广东肇庆统考 ) 命题 p ：“ x > 3”是“ x ≥ 3”的充 分条件，命题 q ： “ a 2 > b 2 ”是“ a > b ” 的必要条件，则 ( 　　 ) B. p ∧ q 为真 D. p 假 q 真 A. p ∨ q 为假 C. p 真 q 假 解析： p 真 q 假，故选 C. 答案： C 【 规律方法 】 充要条件的判断步骤： ① 确定条件是什么，结论是什么； ② 尝试从条件推结论，结论推条件； ③ 确定条件与结论之间的关系 . 考点 2 利用等价法判断充要关系 例 2 ： (1) 给定两个命题 p ， q . 若 p 是 q 的必要不 充分条件， 则 p 是 q 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不 必要条件 解析： 若 p 是 q 的必要不 充分条件，则有 p ⇐ q ，其 逆 q ，故 p 是 q 的充分不必要条件 . 故选 A. 否命题为 p ⇒ 答案： A (2) 王昌龄 《 从军行 》 中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破 楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 ( ) A. 充分条件 C. 充要条件 B. 必要条件 D. 既不充分也不必 要条件 解析： “不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡 则攻破楼兰”， ∴“ 攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件 . 答案： B 【 规律方法 】 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题， 除借助集合思想把抽象、复杂的问题形象化、直观化外，还可 利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判 断所求命题的等价命题 . 考点 3 利用集合法判断充要关系 例 3 ： (1) (2019 年天津 ) 设 x ∈ R ，则 “ x 2 － 5 x <0 ” 是 “ | x － 1| <1” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必 要条件 解析： 解不等式 x 2 － 5 x <0 ，得 0< x <5. 解不等式| x －1|<1，得 0< x <2. 设集合 A ＝ { x |0< x <5} ， B ＝ { x |0< x <2} ， 充分性：当 0< x <5 时， 0< x <2 不一定成立，故充分性不 成立； 必要性： ∵ B ⊂ A ，故必要性成立 . 综上， “ x 2 － 5 x <0 ” 是 “ | x － 1|<1 ” 的必要而不充分条件 . 故选 B. 答案： B A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必 要条件 解析： 画出可行域 ( 如图 D3) ，可知命题 q 中不等式组表示 的平面区域 △ ABC 在命题 p 中不等式表示的圆盘内 . 故选 A. 图 D3 答案： A (3)(2017 年天津 ) 设 x ∈ R ， 则“2－ x ≥ 0”是“| x －1| ≤ 1” 的 ( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 2－ x ≥ 0⇔ x ≤ 2，| x －1| ≤ 1⇔－1 ≤ x －1 ≤ 1⇔0 ≤ x ≤ 2， 显然[0,2]⊆(－∞，2]，∴“2－ x ≥ 0”是“| x －1| ≤ 1”的必要而 不充分条件.故选 B. 答案： B 【 规律方法 】 (1) 如果命题成立 与否与集合相关，此时常通 过集合的关系来判断条件的充分性、必要性 . (2) 集合法：从集合观点看，建立与命题 p ， q 相应的集合 . p ： A ＝ { x | p ( x ) 成立 } ， q ： B ＝ { x | q ( x ) 成立 } ，若 A ⊆ B ，则 p 是 q 的充 分条件， q 是 p 的必要条件；若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要 条件， q 是 p 的必要不充分条件；若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条 件；若 A 不包含于 B ，且 B 不包含于 A ，则 p 既不是 q 的充分 条件，也不是 q 的必要条件 . 思想与方法 ⊙ 利用分类讨论及转化与化归思想求参数的范围 p 是 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值 (1) 若 范围； (2) 若 p 的必要不充分条件是 q ，求实数 m 的取值范围 . m ( m >0). 思维点拨： (1) 与不等式解 集相关的两个命题间充分条件、 必要条件问题常转化为集合之间的包含关系，从而列出关于参 数的不等式 ( 组 ) 求解 . 解： p ： A ＝{ x |－2 ≤ x ≤ 10}， q ： B ＝{ x |1－ m ≤ x ≤ 1＋ m }. 图 1-3-1 【 规律方法 】 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参 数问题的求解上 . 解题时需注意： (1) 把充分条件、必要条件或充要条件 转化为集合之间的关 系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 ( 或不等式 组 ) 求解； (2) 一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增 解的现象； (3) 注意区别以下两种不同说法： ① p 是 q 的充分不必要条件，是指 p ⇒ q 但 q ② p 的充分不必要条件是 q ，是指 q ⇒ p 但 p p ； q . 【 跟踪训练 】 p 是 q 的充 已知 p ： | x － a |<4 ； q ： ( x － 2)(3 － x )>0 ，若 分不必要条件，求 a 的取值范围 . 充分、必要条件的三种判断方法： (1) 定义法：直接判断“若 p 则 q ”“ 若 q 则 p ” 的真假 . 并 注意和图示相结合，例如“ p ⇒ q ” 为真，则 p 是 q 的充分条件 . (2) 等价法：利用 p ⇒ q 与 q ⇒ p ， q ⇒ p 与 p ⇒ q ， p ⇔ q 与 q ⇔ p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命 题，一般运用等价法 . (3) 集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必 要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件或 B 是 A 的充要条件 .