2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7 8页

第3课时　正切函数的图象与性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的性质．(重点)‎ ‎2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象核心素养．‎ 正切函数是以π为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出y＝tan x，x∈的图象．‎ 正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间(k∈Z)上都是增函数 对称性 无对称轴，对称中心为(k∈Z)‎ 思考：正切函数在定义域内是单调函数吗？‎ ‎[提示]　不是．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)正切函数在定义域上是单调递增函数． (　　)‎ - 8 -‎ ‎(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z． (　　)‎ ‎(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z． (　　)‎ ‎[提示]　(1)正切函数在，k∈Z上是单调递增函数．‎ ‎(2)正切函数不是轴对称图形．‎ ‎(3)正切函数的对称中心为，k∈Z．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．(一题两空)函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________．‎ 　　[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)．故定义域为，‎ 且f＝tan＝．]‎ ‎3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．‎ (k∈Z)　[因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)．]‎ 正切函数的定义域 ‎【例1】　求下列函数的定义域．‎ ‎(1)y＝；‎ ‎(2)y＝．‎ ‎[思路点拨]　(1)分母不为0，且tan有意义；‎ ‎(2)被开方数非负，且tan x有意义．‎ ‎[解]　(1)要使y＝有意义，‎ 则 ‎∴ - 8 -‎ ‎∴函数y＝的定义域为 ．‎ ‎(2)由题意得tan x－3≥0，‎ ‎∴tan x≥，‎ ‎∴kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴y＝的定义域为 ．‎ 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠kπ＋(k∈Z)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.‎ ‎1．求函数y＝的定义域．‎ ‎[解]　要使函数y＝有意义，‎ 则有 ‎∴ ‎∴ ‎∴函数y＝的定义域为 ．‎ 正切函数的单调性及应用 ‎【例2】　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)．‎ ‎①tan ________tan ；‎ ‎②tan ________tan．‎ ‎(2)求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．‎ - 8 -‎ ‎[思路点拨]　(1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．‎ ‎(2)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再把x－看作一个整体，利用y＝tan x的单调区间求解．利用T＝求周期．‎ ‎(1)①＜　②＜　[①tan ＝tan＝tan ，‎ ‎∵0＜<＜，且y＝tan x在上是增函数，‎ ‎∴tan