高中数学人教a版选修4-1课时跟踪检测（十）与圆有关的比例线段word版含解析 5页

课时跟踪检测(十) 与圆有关的比例线段 一、选择题 1．在半径为 12 cm 的圆中，垂直平分半径的弦的长为( ) A．3 3 cm B．27 cm C．12 3 cm D．6 3 cm 解析：选 C 法一：如图所示，OA＝12，CD 为 OA 的垂直平分线，连接 OD. 在 Rt△POD 中， PD＝ OD2－OP2＝ 122－62＝6 3， ∴CD＝2PD＝12 3(cm)． 法二：如图，延长 AO 交⊙O 于 M， 由相交弦定理得 PA·PM＝PC·PD. 又∵CD 为线段 OA 的垂直平分线， ∴PD2＝PA·PM. 又∵PA＝6，PM＝6＋12＝18， ∴PD2＝6×18. ∴PD＝6 3. ∴CD＝2PD＝12 3(cm)． 2．如图，CA，CD 分别切圆 O1 于 A，D 两点，CB，CE 分别切圆 O2 于 B，E 两点．若 ∠1＝60°，∠2＝65°，判断 AB，CD，CE 的长度，下列关系正确的是( ) A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CD C．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE 解析：选 A 因为∠1＝60°，∠2＝65°， 所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°， 所以∠2>∠1>∠ABC， 所以 AB>BC>AC. 因为 CA，CD 分别切圆 O1 于 A，D 两点， CB，CE 分别切圆 O2 于 B，E 两点， 所以 AC＝CD，BC＝CE， 所以 AB>CE>CD. 3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则( ) A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 解析：选 A 在直角三角形 ABC 中，根据直角三角形射影定理可得 CD2＝AD·DB，再 根据切割线定理可得 CD2＝CE·CB，所以 CE·CB＝AD·DB. 4.如图，已知 PT 切⊙O 于点 T，TC 是⊙O 的直径，割线 PBA 交 TC 于点 D，交⊙O 于 B，A(B 在 PD 上)，DA＝3，DB＝4，DC ＝2，则 PB 等于( ) A．20 B．10 C．5 D．8 5 解析：选 A ∵DA＝3，DB＝4，DC＝2， ∴由相交弦定理得 DB·DA＝DC·DT， 即 DT＝DB·DA DC ＝4×3 2 ＝6. ∵TC 为⊙O 的直径，所以 PT⊥DT. 设 PB＝x， 则在 Rt△PDT 中， PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36. 由切割线定理得 PT2＝PB·PA＝x(x＋7)， ∴(4＋x)2－36＝x(x＋7)， 解得 x＝20，即 PB＝20. 二、填空题 5．AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，AM＝4，BM＝9，则弦 CD 的长为________． 解析：根据相交弦定理，AM·BM＝ CD 2 2， 所以CD 2 ＝6，CD＝12. 答案：12 6.如图所示，直线 PB 与圆 O 相切于点 B，D 是弦 AC 上的点， ∠PBA＝∠DBA.若 AD＝m，AC＝n，则 AB＝________. 解析：因为直线 PB 是圆的切线，所以∠PBA＝∠C. 又因为∠PBA＝∠DBA，所以∠DBA＝∠C. 又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB， 所以AD AB ＝AB AC ，所以 AB＝ AD·AC＝ mn. 答案： mn 7．如图，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD＝2a 3 ， ∠OAP＝30°，则 CP＝________. 解析：∵点 P 为弦 AB 的中点， ∴OP⊥AB. ∵∠OAP＝30°，OA＝a， ∴PA＝ 3 2 a，PB＝ 3 2 a. 由相交弦定理，得 PA·PB＝PD·CP. ∴CP＝PA·PB PD ＝ 3 2 a× 3 2 a 2a 3 ＝9 8a. 答案：9 8a 三、解答题 8.如图，已知 PA，PB，DE 分别切⊙O 于 A，B，C 三点，PO＝13 cm，⊙O 半径 r＝5 cm. 求△PDE 的周长． 解：∵PA，PB，DE 分别切⊙O 于 A，B，C 三点， ∴DA＝DC，EB＝EC. ∴△PDE 的周长为 PA＋PB＝2PA. 连接 OA，则 OA⊥PA. ∴PA＝ PO2－OA2＝ 132－52＝12(cm)． ∴△PDE 的周长为 24 cm. 9．如图，BC 是半圆的直径，O 是圆心，P 是 BC 延长线上 一点，PA 切半圆于点 A，AD⊥BC 于点 D. (1)若∠B＝30°，AB 与 AP 是否相等？请说明理由； (2)求证：PD·PO＝PC·PB； (3)若 BD∶DC＝4∶1，且 BC＝10，求 PC 的长． 解：(1)相等． 连接 AO，如图所示． ∵PA 是半圆的切线， ∴∠OAP＝90°. ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠OAB. ∴∠AOD＝2∠B＝60°. ∴∠APO＝30°. ∴∠B＝∠APO.∴AB＝AP. (2)证明：在 Rt△OAP 中， ∵AD⊥OP，∴PA2＝PD·PO. ∵PA 是半圆的切线， ∴PA2＝PC·PB. ∴PD·PO＝PC·PB. (3)∵BD∶DC＝4∶1，且 BC＝10， ∴BD＝8，CD＝2.∴OD＝3. ∵OA2＝OD·OP，∴25＝3×OP. ∴OP＝25 3 . ∴PC＝25 3 －5＝10 3 . 10.如图，两个同心圆的圆心是 O，大圆的半径为 13，小圆的半径为 5， AD 是大圆的直径．大圆的弦 AB，BE 分别与小圆相切于点 C，F.AD，BE 相交于点 G，连接 BD. (1)求 BD 的长； (2)求∠ABE＋2∠D 的度数； (3)求BG AG 的值． 解：(1)连接 OC，因为 AB 是小圆的切线，C 是切点， 所以 OC⊥AB， 所以 C 是 AB 的中点． 因为 AD 是大圆的直径， 所以 O 是 AD 的中点． 所以 OC 是△ABD 的中位线． 所以 BD＝2OC＝10. (2)连接 AE. 由(1)知 C 是 AB 的中点． 同理 F 是 BE 的中点． 即 AB＝2BC，BE＝2BF， 由切线长定理得 BC＝BF. 所以 BA＝BE. 所以∠BAE＝∠E. 因为∠E＝∠D， 所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°. (3)连接 BO，在 Rt△OCB 中， 因为 OB＝13，OC＝5， 所以 BC＝12，AB＝24. 由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC. 因为∠BGO＝∠AGB， 所以△BGO∽△AGB. 所以BG AG ＝BO AB ＝13 24.