2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.1 随机事件与概率 10页

10.1 随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 学习目标 1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.2.了解随机事件的 有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义. 知识点一 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 知识点二 样本空间 我们把随机试验 E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E的样 本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有 n个可能结果 ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 知识点三 随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙 述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件 称为基本事件.当且仅当 A中某个样本点出现时，称为事件 A发生. 2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总 会发生，我们称Ω为必然事件. 3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件. 1.对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能结果是不知道的. ( × ) 2.连续抛掷 2次硬币，该试验的样本空间Ω＝{正正，反反，正反}.( × ) 3.“已知一个盒中装有 4个白球和 5个黑球，从中任意取 1个球，该球是白球或黑球”，此 事件是必然事件.( √ ) 4.“某人射击一次，中靶”是随机事件.( √ ) 一、样本空间的求法 例 1 写出下列试验的样本空间： (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和； (2)从含有两件正品 a1，a2和两件次品 b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果； (3)用红、黄、蓝三种颜色给图中 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的 情况. 解 (1)该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}. (2)该试验，所有可能的结果如图所示， 因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}. (3)如图， 用 1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)， (1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)， (2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)， (3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}. 延伸探究 本例(2)中“任取两件”改为连续取两次，且每次取出后又放回，此时样本空间又是什么？ 解 如图， 所以样本空间为Ω4＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)， (a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}. 反思感悟 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须 按一定的顺序，要做到不重不漏. (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数 的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全 面、不易遗漏. (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结 果可以用树状图进行列举. 跟踪训练 1 写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁 4人在 4天节日中值班，每人值班 1天，记录值班的情况； (2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 解 (1)如图， 设甲、乙、丙、丁分别为 1,2,3,4， 所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)， (2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)， (3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}. (2)设正品为 H，次品为 T， 样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}. 二、随机事件的表示 例 2 试验 E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况. 设事件 A表示随机事件“甲乙平局”； 事件 B表示随机事件“甲赢得游戏”； 事件 C表示随机事件“乙不输”. 试用集合表示事件 A，B，C. 解 设锤子为 w1，剪刀为 w2，布为 w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中 i表示甲出的拳，j 表示乙出的拳，则样本空间 E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2， w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}. 因为事件 A表示随机事件“甲乙平局”， 则满足要求的样本点共有 3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)， ∴事件 A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}. 事件 B表示“甲赢得游戏”， 则满足要求的样本点共有 3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)， ∴事件 B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}. 因为事件 C表示“乙不输”， 则满足要求的样本点共有 6个， (w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)， ∴事件 C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}. 反思感悟 对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中含有哪些 样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求. 跟踪训练 2 如图，从正方形 ABCD的四个顶点及其中心 O这 5 个点中，任取两点观察取 点的情况，设事件 M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件 M. 解 M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}. 三、随机事件的含义 例 3 在试验 E：“连续抛掷一枚均匀的骰子 2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随 机事件的含义： (1)事件 A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}； (2)事件 B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}； (3)事件 C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}. 解 (1)事件 A中所含的样本点中的第二个数为 3，根据样本空间知第二个数为 3的样本点都 在事件 A中，故事件 A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子 2次，第二次掷出的点数为 3. (2)事件 B中所含的样本点中两个数的和均为 6，且样本空间中两数和为 6的样本点都在事件 B中，故事件 B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子 2次，2次掷出的点数之和为 6. (3)事件 C的所含样本点中两个数的差的绝对值为 2，且样本空间中两个数差的绝对值为 2 的样本点都在 C中，故事件 C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子 2次，两次掷出的点数之 差的绝对值为 2. 反思感悟 解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才 能确定随机事件的含义. 跟踪训练 3 柜子里有 3双不同的鞋，随机抽取 2只，用 A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示 3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义. (1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}； (2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}； (3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}. 解 (1)事件 M的含义是“从 3双不同的鞋中随机抽取 2只，取出的 2只鞋不成双”. (2)事件 N的含义是“从 3双不同鞋中，随机抽取 2只，取出的 2只鞋都是左脚的”. (3)事件 P的含义是“从 3双不同鞋中，随机抽取 2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右 脚的，但不成双”. 1.下列事件是必然事件的是( ) A.从分别标有数字 1,2,3,4,5的 5张标签中任取一张，得到标有数字 4的标签 B.函数 y＝logax(a>0且 a≠1)为增函数 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.随机选取一个实数 x，得 2x<0 答案 C 解析 A.是随机事件，5张标签都可能被取到；B.是随机事件，当 a>1时，函数 y＝logax为 增函数，当 00. 2.集合 A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从 A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有基本 事件的个数为( ) A.8 B.9 C.12 D.11 答案 D 解析 从 A，B中各任意取一个数，可构成 12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共 11个. 3.元旦期间，小东和爸爸、妈妈外出旅游，一家三口随机站成一排，则小东恰好站在中间的 站法种数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A 4.抛掷 3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合 M表示“既有正面朝上，也有反面朝 上”，则 M＝_________________________________________________________________. 答案 {(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)} 解析 试验的样本空间为Ω＝{(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)， (反反正)，(反反反)}，则 M＝{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}. 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件 M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，则事件 M的 含义是________________________________________________________________________. 答案 抛骰子两次，向上点数之和为 8 1.知识清单： (1)随机试验. (2)样本空间. (3)随机事件. 2.方法归纳：列表法、树状图法. 3.常见误区：在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏. 1.下列事件中不可能事件的个数为( ) ①抛一石块下落； ②如果 a>b，那么 a－b>0； ③没有水分，种子能发芽； ④某电话机在 1分钟内收到 2次呼叫； ⑤在标准大气压下且温度低于 0℃时，冰融化. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 ①②是必然事件，④是随机事件，③⑤是不可能事件. 2.试验 E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空 间为( ) A.{10,11，…，99} B.{1,2，…，18} C.{0,1，…，18} D.{1,2，…，10} 答案 B 解析 由题意可知，该试验的样本空间为{1,2，…，18}. 3.从甲、乙等 5名学生中随机选出 2 人，观察选出的 2 人，设事件 M为“甲被选中”，则 事件 M含有的样本点个数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 设 5 名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则 M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M 含有 4个样本点. 4.从 5人中选出 2人担任正、副班长，则样本点个数为( ) A.10 B.15 C.20 D.25 答案 C 解析 把 5人分别记为 A，B，C，D，E，用 x表示正班长，y表示副班长，则样本点用(x， y)表示，∴Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C， A)，(C，B)，(C，D)，(C，E)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，E)，(E，A)，(E，B)，(E， C)，(E，D)}，故共有 20个样本点. 5.从分别写有 1,2,3,4,5的 5张卡片中随机抽取 1张，放回后再随机抽取 1张，观察抽得的 2 张数字，设抽得的第 1张卡片上的数大于第 2张卡片上的数为事件 Q，则事件 Q含有的样 本点个数为( ) A.8 B.10 C.11 D.15 答案 B 解析 如下表所示，表中点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数. 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 则 Q＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}. 所以 Q中含有 10个样本点. 6.已知 A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，从 A，B中各取一个元素分别作点的横坐标和纵坐标，则 该试验的样本空间Ω为__________________________________________. 答案 {(－1,1)，(－1,2)，(0,1)，(0,2)，(1,1)，(1,2)} 7.从 100个同类产品中(其中 2个次品)任取 3个. ①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少有一个 次品；⑥至少有一个正品. 其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________. 答案 ⑥ ④ ①②③⑤ 解析 从 100个产品(其中 2个次品)中取 3个可能结果是“三个全是正品”“两个正品一个 次品”“一个正品两个次品”. 8.从 2,3,8,9中任取两个不同数字，分别记为 a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“logab 为整数”可表示为________________. 答案 {(2,8)，(3,9)} 解析 只有 log28＝3，log39＝2为整数. 9.某商场举行购物抽奖的促销活动，规定每位顾客从装有编号分别为 0,1,2,3四个小球(除编 号不同外，其他完全相同)的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放回，连续取两次，若 取出的两个小球的编号的和等于 6，则中一等奖，等于 5中二等奖，等于 4或 3中三等奖. (1)写出试验的样本空间Ω； (2)设随机事件 A为“抽中三等奖”，随机事件 B为“抽中奖”，试用集合表示事件 A和 B. 解 (1)Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)， (3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}. (2)A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}， B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(2,3)，(3,2)，(3,3)}. 10.某校夏令营有 3名男同学 A，B，C和 3名女同学 X，Y，Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这 6名同学中随机选出 2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)写出该试验的样本空间Ω； (2)设事件 M为“选出的 2人来自不同年级且恰有 1名男同学和 1名女同学，试用集合表示 M. 解 (1)Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}. (2)M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}. 11.(多选)给出关于满足 A B的非空集合 A，B的四个命题，其中正确的命题是( ) A.若任取 x∈A，则 x∈B是必然事件 B.若任取 x∉A，则 x∈B是不可能事件 C.若任取 x∈B，则 x∈A是随机事件 D.若任取 x∉B，则 x∉A是必然事件 答案 ACD 12.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 a，b，设事件 M为“方程 ax2＋bx ＋1＝0有实数解”，则事件 M中含有样本点的个数为( ) A.6 B.17 C.19 D.21 答案 C 解析 将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 a和 b， ∵方程 ax2＋bx＋1＝0有实数解， ∴Δ＝b2－4a≥0， 则 M＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)， (4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)}，共含 19个样本点. 13.一袋中装有 10个红球，8个白球，7 个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保 证在第 k次或第 k次之前一定能摸出红球，则 k的最小值为( ) A.10 B.15 C.16 D.17 答案 C 解析 摸完黑球和白球共需 15次，则第 16次一定能摸出红球. 14.写出下列试验的样本空间： (1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________________； (2)从含有 6件次品的 50件产品中任取 4件，观察其中次品数________________. 答案 (1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4} 解析 (1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果. (2)从含有 6件次品的 50件产品中任取 4件，其次品的个数可能为 0,1,2,3,4，不能再有其他 结果. 15.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成 27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任 取 1 个，观察取到的小正方体的情况，则事件 B为“从小正方体中任取 1个，恰有两面涂 有颜色”，那么事件 B含有________个样本点. 答案 12 解析 每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体，共 12个. 16.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性. 如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形. 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分 别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若 两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小 慧获胜. (1)写出该试验的样本空间Ω； (2)设小敏获胜为事件 A，试用样本点表示 A. 解 (1)每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示： 第二张卡片 第一张卡片 土 口 木 土 (土，土) (土，口) (土，木) 口 (口，土) (口，口) (口，木) 木 (木，土) (木，口) (木，木) ∴Ω＝{(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，土)，(口，口)，(口，木)，(木，土)，(木，口)， (木，木)}. (2)能组成上下结构的汉字的样本为(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木). ∴A＝{(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)}.