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- 2021-06-10 发布
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2.3 数学归纳法(二)
[学习目标]
1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、
几何问题等数学命题.
2.掌握证明 n=k+1 成立的常见变形技巧:提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.
[知识链接]
1.数学归纳法的两个步骤有何关系?
答案 使用数学归纳法时,两个步骤缺一不可,步骤(1)是递推的基础,步骤(2)是递推的依
据.
2.用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点?
答案 与正整数 n 有关的命题
[预习导引]
1.归纳法
归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分完全归纳法和不完全归纳法两种,而不完全归纳
法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明.
2.数学归纳法
(1)应用范围:作为一种证明方法,用于证明一些与正整数有关的数学命题;
(2)基本要求:它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可;
(3)注意点:在第二步递推归纳时,从 n=k 到 n=k+1 必须用上归纳假设.
要点一 用数学归纳法证明不等式问题
例 1 用数学归纳法证明:
1
22
+ 1
32
+ 1
42
+…+ 1
n2<1-1
n(n≥2,n∈N*).
证明 (1)当 n=2 时,左式= 1
22
=1
4
,右式=1-1
2
=1
2.
因为1
4<1
2
,所以不等式成立.
(2)假设 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,
即 1
22
+ 1
32
+ 1
42
+…+1
k2<1-1
k
,
则当 n=k+1 时,
1
22
+ 1
32
+ 1
42
+…+1
k2
+ 1
k+12<1-1
k
+ 1
k+12
=1-k+12-k
kk+12
=1-k2+k+1
kk+12 <1- kk+1
kk+12
=1- 1
k+1
,
所以当 n=k+1 时,不等式也成立.
综上所述,对任意 n≥2 的正整数,不等式都成立.
规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通过放大
或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式.
跟 踪 演 练 1 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 n , 不 等 式
1+1
3 1+1
5 … 1+ 1
2n-1 > 2n+1
2
成立.
证明 (1)当 n=2 时,左=1+1
3
=4
3
,右= 5
2
,左>右,
∴不等式成立.
(2)假设 n=k(k≥2 且 k∈N*)时,不等式成立,即
1+1
3 1+1
5 … 1+ 1
2k-1 > 2k+1
2
,
那么当 n=k+1 时,
1+1
3 1+1
5 … 1+ 1
2k-1
1+ 1
2k+1-1 >
2k+1
2
·2k+2
2k+1
= 2k+2
2 2k+1
= 4k2+8k+4
2 2k+1
>
4k2+8k+3
2 2k+1
= 2k+3· 2k+1
2· 2k+1
= 2k+1+1
2
,
∴n=k+1 时,不等式也成立.
由(1)(2)知,对一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.
要点二 用数学归纳法证明整除性问题
例 2 用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)·3n+9 能被 36 整除.
证明 ①当 n=1 时,f(1)=(2×1+7)×3+9=36,能被 36 整除.
②假设 n=k(k∈N*)时,f(k)能被 36 整除,即(2k+7)·3k+9 能被 36 整除,则当 n=k+1 时,
f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9
=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),
由归纳假设 3[(2k+7)·3k+9]能被 36 整除,
而 3k-1-1 是偶数,所以 18(3k-1-1)能被 36 整除,
所以 f(k+1)能被 36 整除.
由①②可知,对任意的 n∈N*,f(n)能被 36 整除.
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题时,关键是“凑项”,采用增项、减项、拆项和因
式分解等方法,也可以说将式子“硬提公因式”,即将 n=k 时的项从 n=k+1 时的项中“硬提
出来”,构成 n=k 的项,后面的式子相对变形,使之与 n=k+1 时的项相同,从而达到利用
假设的目的.
跟踪演练 2 用数学归纳法证明 62n-1+1(n∈N*)能被 7 整除.
证明 (1)当 n=1 时,62-1+1=7 能被 7 整除.
(2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥1)时,62k-1+1 能被 7 整除.
那么当 n=k+1 时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1
=36(62k-1+1)-35.
∵62k-1+1 能被 7 整除,35 也能被 7 整除,
∴当 n=k+1 时,62(k+1)-1+1 能被 7 整除.
由(1),(2)知命题成立.
要点三 用数学归纳法证明几何问题
例 3 用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线有 1
2n(n-3)条.
证明 ①当 n=3 时,1
2n(n-3)=0,这就说明三角形没有对角线,故结论正确.
②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时结论正确,
即凸 k 边形的对角线有 1
2k(k-3)条,
当 n=k+1 时,凸(k+1)边形是在 k 边形基础上增加了一边,增加了一个顶点,设为 Ak+1,
增加的对角线是顶点 Ak+1 与不相邻顶点的连线再加上原 k 边形一边 A1Ak,共增加了对角线
的条数为 k-2+1=k-1.
∴f(k+1)=1
2k(k-3)+k-1
=1
2(k2-k-2)
=1
2(k+1)(k-2)
=1
2(k+1)[(k+1)-3]
故当 n=k+1 时命题成立.
由(1)(2)知,对任意 n≥3,n∈N*,命题成立.
规律方法 用数学归纳法证明几何问题,关键在于分析由 n=k 到 n=k+1 的变化情况,即
分点(或顶点)增加了多少,直线的条数(或划分区域)增加了几部分等,或先用 f(k+1)-f(k)
得出结果,再结合图形给予严谨的说明,几何问题的证明:一要注意数形结合;二要注意要
有必要的文字说明.
跟踪演练 3 平面内有 n(n∈N*,n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,
求证交点的个数 f(n)=nn-1
2
.
证明 (1)当 n=2 时,两条直线的交点只有一个,又 f(2)=1
2
×2×(2-1)=1,
∴当 n=2 时,命题成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*,k≥2)时命题成立,即平面内满足题设的任何 k 条直线的交点个数 f(k)
=1
2k(k-1),
那么,当 n=k+1 时,
任取一条直线 l,除 l 以外其他 k 条直线的交点个数为
f(k)=1
2k(k-1),
l 与其他 k 条直线交点个数为 k,
从而 k+1 条直线共有 f(k)+k 个交点,
即 f(k+1)=f(k)+k=1
2k(k-1)+k
=1
2k(k-1+2)=1
2k(k+1)
=1
2(k+1)[(k+1)-1],
∴当 n=k+1 时,命题成立.
由(1),(2)可知,对任意 n∈N*(n≥2)命题都成立.
要点四 归纳—猜想—证明
例 4 在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等
比数列(n∈N*).
(1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;
(2)证明: 1
a1+b1
+ 1
a2+b2
+…+ 1
an+bn
< 5
12.
(1)解 由条件得 2bn=an+an+1,
a2n+1=bnbn+1.
由此可以得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明:
①当 n=1 时,由上可得结论成立.
②假设当 n=k(k∈N*)时,结论成立.
即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么当 n=k+1 时,
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)
=(k+1)(k+2)=(k+1)[(k+1)+1],
bk+1=a2k+1
bk
=(k+2)2=[(k+1)+1]2,
所以当 n=k+1 时,结论也成立.
由①②,可知 an=n(n+1),
bn=(n+1)2 对一切正整数都成立.
(2)证明 1
a1+b1
=1
6
< 5
12.
n≥2 时,由(1)知 an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.
故 1
a1+b1
+ 1
a2+b2
+…+ 1
an+bn
<1
6
+1
2
1
2×3
+ 1
3×4
+…+ 1
nn+1
=1
6
+1
2
1
2
-1
3
+1
3
-1
4
+…+1
n
- 1
n+1
=1
6
+1
2
1
2
- 1
n+1 <1
6
+1
4
= 5
12.
综上,原不等式成立.
规律方法 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型,此种问题未给出问题的结
论,往往需要由特殊情况入手,归纳、猜想、探索出结论,然后再对探索出的结论进行证明,
而证明往往用到数学归纳法.这类题型是高考的热点之一,它对培养创造性思维具有很好的
训练作用.
跟踪演练 4 已知数列 1
1×4
, 1
4×7
, 1
7×10
,…, 1
3n-23n+1
,…,计算 S1,S2,S3,S4,根
据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解 S1= 1
1×4
=1
4
;S2=1
4
+ 1
4×7
=2
7
;
S3=2
7
+ 1
7×10
= 3
10
;S4= 3
10
+ 1
10×13
= 4
13.
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n 表示为 3n+1.
于是可以猜想 Sn= n
3n+1(n∈N*).
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当 n=1 时,左边=S1=1
4
,右边= n
3n+1
= 1
3×1+1
=1
4
,
猜想成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时猜想成立,即
1
1×4
+ 1
4×7
+ 1
7×10
+…+ 1
3k-23k+1
= k
3k+1
,那么,
1
1×4
+ 1
4×7
+ 1
7×10
+…+ 1
3k-23k+1
+ 1
[3k+1-2][3k+1+1]
= k
3k+1
+
1
3k+13k+4
= 3k2+4k+1
3k+13k+4
= 3k+1k+1
3k+13k+4
= k+1
3k+1+1
,
所以,当 n=k+1 时猜想也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对任何 n∈N*都成立.
1.某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题
也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( )
A.n=6 时该命题不成立
B.n=6 时该命题成立
C.n=4 时该命题不成立
D.n=4 时该命题成立
答案 C
解析 ∵n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题成立.∴若 n=5 时,该
命题不成立,则 n=4 时该命题不成立.
2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”时,第一步验证 n=1 时,
命题成立,第二步归纳假设应写成( )
A.假设 n=2k+1(k∈N*)时命题正确,再推证 n=2k+3 时命题正确
B.假设 n=2k-1(k∈N*)时命题正确,再推证 n=2k+1 时命题正确
C.假设 n=k(k∈N*)时命题正确,再推证 n=k+2 时命题正确
D.假设 n≤k(k∈N*)时命题正确,再推证 n=k+2 时命题正确
答案 B
解析 因 n 为正奇数,所以否定 C、D 项;当 k=1 时,2k-1=1,2k+1=3,故选 B.
3.用数学归纳法证明 3n≥n3(n≥3,n∈N*)第一步应验证________.
答案 n=3 时是否成立
解析 n 的最小值为 3,所以第一步验证 n=3 时是否成立.
4.用数学归纳法证明 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,
左边需增添的代数式是________.
答案 (2k+2)+(2k+3)
解析 当 n=k 时,左边是共有 2k+1 个连续自然数相加,即 1+2+3+…+(2k+1),所以
当 n=k+1 时,左边共有 2k+3 个连续自然数相加,即 1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k
+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).
1.数学归纳法证明与正整数有关的命题,包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何
问题等.
2.证明问题的初始值 n0 不一定,可根据题目要求和问题实际确定 n0.
3.从 n=k 到 n=k+1 要搞清“项”的变化,不论是几何元素,还是式子,一定要用到归纳
假设.
一、基础达标
1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(n+3)=n+3n+4
2
(n∈N*),验证 n=1 时,左边
应取的项是( )
A.1 B.1+2
C.1+2+3 D.1+2+3+4
答案 D
解析 等式左边的数是从 1 加到 n+3.
当 n=1 时,n+3=4,故此时左边的数为从 1 加到 4.
2.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起始
值 n0 应取( )
A.2 B.3
C.5 D.6
答案 C
解析 当 n 取 1、2、3、4 时 2n>n2+1 不成立,当 n=5 时,25=32>52+1=26,第一个能使
2n>n2+1 的 n 值为 5,故选 C.
3.用数学归纳法证明不等式 1+1
2
+1
4
+…+ 1
2n-1
>127
64 (n∈N*)成立,其初始值至少应取( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 B
解析 左边=1+1
2
+1
4
+…+ 1
2n-1
=
1- 1
2n
1-1
2
=2- 1
2n-1
,代入验证可知 n 的最小值是 8.
4.用数学归纳法证明不等式 1
n+1
+ 1
n+2
+…+ 1
2n>11
24(n∈N*)的过程中,由 n=k 递推到 n=k
+1 时,下列说法正确的是( )
A.增加了一项 1
2k+1
B.增加了两项 1
2k+1
和 1
2k+1
C.增加了 B 中的两项,但又减少了一项 1
k+1
D.增加了 A 中的一项,但又减少了一项 1
k+1
答案 C
解析 当 n=k 时,不等式左边为 1
k+1
+ 1
k+2
+…+ 1
2k
,当 n=k+1 时,不等式左边为 1
k+2
+
1
k+3
+…+ 1
2k
+ 1
2k+1
+ 1
2k+2
,故选 C.
5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k
+1 时的情况,只需展开________.
答案 (k+3)3
解析 假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除.当 n=k+1
时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3 展开,让其出现 k3
即可.
6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an(n∈N*).依次计算出 S1,S2,S3,S4
后,可猜想 Sn 的表达式为________.
答案 Sn= 2n
n+1
解析 S1=1,S2=4
3
,S3=3
2
=6
4
,S4=8
5
,猜想 Sn= 2n
n+1.
7.已知正数数列{an}(n∈N*)中,前 n 项和为 Sn,且 2Sn=an+ 1
an
,用数学归纳法证明:an=
n- n-1.
证明 (1)当 n=1 时.a1=S1=1
2
a1+ 1
a1 ,
∴a21=1(an>0),∴a1=1,又 1- 0=1,
∴n=1 时,结论成立.
(2)假设 n=k(k∈N*)时,结论成立,即 ak= k- k-1.
当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk
=1
2
ak+1+ 1
ak+1 -1
2
ak+1
ak
=1
2
ak+1+ 1
ak+1 -1
2
k- k-1+ 1
k- k-1
=1
2
ak+1+ 1
ak+1 - k.
∴a2k+1+2 kak+1-1=0,
解得 ak+1= k+1- k(an>0),
∴n=k+1 时,结论成立.
由(1)(2)可知,对 n∈N*都有 an= n- n-1.
二、能力提升
8.k(k≥3,k∈N*)棱柱有 f(k)个对角面,则(k+1)棱柱的对角面个数 f(k+1)为( )
A.f(k)+k-1 B.f(k)+k+1
C.f(k)+k D.f(k)+k-2
答案 A
解析 三棱柱有 0 个对角面,四棱柱有 2 个对角面[0+2=0+(3-1)];五棱柱有 5 个对角面
[2+3=2+(4-1)];六棱柱有 9 个对角面[5+4=5+(5-1)];….猜想:若 k 棱柱有 f(k)个对
角面,则(k+1)棱柱有 f(k)+k-1 个对角面.
9.对于不等式 n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当 n=1 时, 12+1≤1
+1,不等式成立.
②假设 n=k(n∈N*)时,不等式成立,即 k2+k≤k+1,则 n=k+1 时, k+12+k+1=
k2+3k+2< k2+3k+2+k+2= k+22=(k+1)+1,所以当 n=k+1 时,不等式成立,
上述证法( )
A.过程全部正确
B.n=1 验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确
答案 D
解析 从 n=k 到 n=k+1 的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证题要求.
10.用数学归纳法证明 1
22
+ 1
32
+…+ 1
n+12>1
2
- 1
n+2.假设 n=k 时,不等式成立.则当 n=k
+1 时,应推证的目标不等式是________.
答案 1
22
+ 1
32
+…+1
k2
+ 1
k+12
+ 1
k+22>1
2
- 1
k+3
解析 观察不等式中的分母变化知, 1
22
+ 1
32
+…+1
k2
+ 1
k+12
+ 1
k+22>1
2
- 1
k+3.
11.求证: 1
n+1
+ 1
n+2
+…+ 1
3n>5
6(n≥2,n∈N*).
证明 (1)当 n=2 时,左边=1
3
+1
4
+1
5
+1
6>5
6
,不等式成立.
(2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即 1
k+1
+ 1
k+2
+…+ 1
3k>5
6.
则当 n=k+1 时,
1
k+1+1
+ 1
k+1+2
+…+ 1
3k
+ 1
3k+1
+ 1
3k+2
+ 1
3k+1
= 1
k+1
+ 1
k+2
+…+
1
3k
+
1
3k+1
+ 1
3k+2
+ 1
3k+3
- 1
k+1 >5
6
+
1
3k+1
+ 1
3k+2
+ 1
3k+3
- 1
k+1 >5
6
+
3× 1
3k+3
- 1
k+1 =5
6
,
所以当 n=k+1 时不等式也成立.
由(1)和(2)可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N*均成立.
12.已知数列{an}中,a1=-2
3
,其前 n 项和 Sn 满足 an=Sn+ 1
Sn
+2(n≥2),计算 S1,S2,S3,
S4,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法加以证明.
解 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=Sn+ 1
Sn
+2.
∴Sn=- 1
Sn-1+2(n≥2).
则有:S1=a1=-2
3
,
S2=- 1
S1+2
=-3
4
,
S3=- 1
S2+2
=-4
5
,
S4=- 1
S3+2
=-5
6
,
由此猜想:Sn=-n+1
n+2
(n∈N*).
用数学归纳法证明:
(1)当 n=1 时,S1=-2
3
=a1,猜想成立.
(2)假设 n=k(k∈N*)猜想成立,
即 Sk=-k+1
k+2
成立,
那么 n=k+1 时,Sk+1=- 1
Sk+2
=- 1
-k+1
k+2
+2
=-k+2
k+3
=-k+1+1
k+1+2
.
即 n=k+1 时猜想成立.
由(1)(2)可知,对任意正整数 n,猜想结论均成立.
三、探究与创新
13.已知递增等差数列{an}满足:a1=1,且 a1,a2,a4 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式 an;
(2)若不等式 1- 1
2a1 · 1- 1
2a2 ·…· 1- 1
2an ≤ m
2an+1
对任意 n∈N*,试猜想出实数 m 的最小
值,并证明.
解 (1)设数列{an}公差为 d(d>0),
由题意可知 a1·a4=a22,即 1(1+3d)=(1+d)2,
解得 d=1 或 d=0(舍去).
所以,an=1+(n-1)·1=n.
(2)不等式等价于1
2·3
4·5
6·…·2n-1
2n
≤ m
2n+1
,
当 n=1 时,m≥ 3
2
;当 n=2 时,m≥3 5
8
;
而 3
2
>3 5
8
,所以猜想,m 的最小值为 3
2 .
下面证不等式1
2·3
4·5
6·…·2n-1
2n
≤
3
2
2n+1
对任意 n∈N*恒成立.
下面用数学归纳法证明:
证明 ①当 n=1 时,1
2
≤
3
2
3
=1
2
,成立.
②假设当 n=k 时,不等式1
2·3
4·5
6·…·2k-1
2k
≤
3
2
2k+1
成立,
当 n=k+1 时,1
2·3
4·5
6·…·2k-1
2k
·2k+1
2k+2
≤
3
2
2k+1
·2k+1
2k+2
,
只要证
3
2
2k+1
·2k+1
2k+2
≤
3
2
2k+3
,
只要证 2k+1
2k+2
≤ 1
2k+3
,
只要证 2k+1 2k+3≤2k+2,
只要证 4k2+8k+3≤4k2+8k+4,只要证 3≤4,显然成立.即 n=k+1 时,不等式成立.
由①②可知,对任意 n∈N*,不等式1
2·3
4·5
6·…·2n-1
2n
≤
3
2
2n+1
恒成立.
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