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  • 2021-06-10 发布

2014高考数学百题精练分项解析13

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‎2014高考数学百题精练之分项解析13‎ ‎【说明】本试卷满分100分,考试时间90分钟.‎ 一、选择题(每小题6分,共42分)‎ ‎1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()‎ A.2B‎.4C.6D.‎ 答案:C 解析:由已知得a2-a·b-6b2=-72.故|a|2-2|a|-24=0,|a|=6或-4(舍).‎ ‎2.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为()‎ A.B.C.D.‎ 答案:C 解析:a在b方向上的射影为.‎ ‎3.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且‎3a+2b与λa-b垂直,则λ等于()‎ A.B.-C.±D.1‎ 答案:A 解析:因a⊥b,故a·b=0,又(‎3a+2b)(λa-b)=0.故3λa2-2b2=0,λ=.‎ ‎4.(2010天津和平区一模,4)已知a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a·b+b·c+c·a的值为()‎ A.7B.C.-7D.-‎ 答案:D 解析:2(a·b+b·c+c·a)=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=-(a2+b2+c2)=-(1+4+2)=-7,‎ ‎∴a·b+b·c+c·a=-72.‎ ‎5.(2010湖南十校联考,3)已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值等于()‎ A.25B‎.24C.-25D.-24‎ 答案:C 解析:由已知得cosA=,cosB=0,cosC=.‎ 原式=-||||cosB-||||cosC-||||cosA ‎=0-4×5×-5×3×=-25.‎ ‎6.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线x·cosα-y·sinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是()‎ A.相切B.相交 C.相离D.随α、β而定 答案:C 解析:由d==|cos(α-β)+|,又因为a·b=6cosαcosβ+6sinαsinβ=|a||b|cos60°.‎ 故有cos(α-β)==.‎ ‎∴d=1>.‎ ‎7.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cosα,sinα),则向量与向量的夹角的范围为()‎ A.[0,]B.[,]‎ C.[,]D.[π,]‎ 答案:D 解析:=(x,y),=-=(x-2,y-2),‎ x=2+cosα,y=2+sinα,‎ ‎·=2x,cosθ=.‎ 又(x-2)2+(y-2)2=()2,设y=kx,‎ ‎=.k=2±,即()2最大为(2+)2,最小为(2-)2≤cosθ≤,θ∈[,]‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.(2010江苏南京一模,14)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为___________.‎ 答案:‎ 解析:c⊥a(a-b)a=0,a·b=a2=1,‎ ‎∴cos〈a、b〉==,故a与b夹角为.‎ ‎9.已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a与b夹角为锐角,则实数λ取值范围为________________________.‎ 答案:λ<且λ≠-2‎ 解析:由a与b夹角为锐角有可得.‎ ‎10.已知△ABC的面积为,||=3,||=5,·<0,则||=____________.‎ 答案:7‎ 解析:S△=||·||·sinA=sinA=,又·<0,即A>90°,故A=120°.‎ ‎∴||2=|-|2=||2+||2-2||||cosA=32+52+3×5=49,||=7.‎ 三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)‎ ‎11.已知向量a=(cosx,sinx),b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x∈(0,π).‎ ‎(1)向量a、b是否共线?请说明理由;‎ ‎(2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.‎ 解析:(1)a与b共线.因cosx·(1-cos2x)-sinx·sin2x=cosx·2sin2x-2sin2x·cosx=0.‎ ‎(2)|b|=2|sinx|,‎ ‎∵x∈(0,π),∴sinx>0,|b|=2sinx.‎ 又(a+b)·c=sinx+2sin2x,‎ ‎∴f(x)=-2sin2x+sinx ‎=-2(sinx-)2+.‎ ‎∵x∈(0,π),‎ ‎∴当sinx=时,函数f(x)取得最大值.‎ ‎12.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)且a,b满足|ka+b|=|a-kb|(k>0).‎ ‎(1)用k表示a,b的数量积;‎ ‎(2)求a·b的最小值及此时a,b的夹角θ.‎ 解析:(1)|a|=1,|b|=1,‎ ‎|ka+b|2=3|a-kb|2,‎ k‎2a2+2ka·b+b2=‎3a2+3k2b2-6ka·b,8ka·b=2k2+2,a·b=.‎ ‎(2)k>0,‎ a·b==(k+)≥,‎ 当k=1时等号成立.‎ 此时a·b的最小值为,夹角为θ=.‎ ‎13.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.‎ ‎(1)求证:(a-b)⊥c;‎ ‎(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.‎ ‎(1)证明:(a-b)·c=a·c-b·c ‎=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0,‎ ‎∴(a-b)⊥c.‎ ‎(2)解析:|ka+b+c|>1|ka+b+c|2>1k‎2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.‎ ‎∵|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c夹角均为120°,‎ ‎∴a2=b2=c2=1,a·b=b·c=a·c=-.‎ ‎∴k2-2k>0,k>2或k<0.‎ ‎14.设a,b是两个不共线的非零向量,t∈R.‎ ‎(1)若=a,=tb,=(a+b),则当t为何值时,A、B、C三点共线?‎ ‎(2)若|a|=|b|,且a与b的夹角为60°,则t为何值时,|a-tb|的值最小?‎ 解析:(1)∵A、B、C三点共线,‎ ‎∴=λ.‎ ‎∴tb-a=λ[(a+b)-a]=λb-λa ‎∴∴λ=,t=.‎ ‎(2)∵a·b=|a||b|cos60°=|a|2,‎ ‎∴|a-tb|2=|a|2-2t(a·b)+t2|b|2‎ ‎=|a|2-t|a|2+t2|a|2‎ ‎=|a|2[(t-)2+].‎ ‎∴当t=时,|a-tb|有最小值|a|.‎