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  • 2021-06-10 发布

2020高中数学函数的单调性

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第1课时 函数的单调性 学习目标:1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点)3.会求一些具体函数的单调区间.(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.增函数与减函数的定义 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2)‎ 都有f(x1)>f(x2)‎ 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 思考1:增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征?‎ ‎[提示] 定义中的x1,x2有以下3个特征 ‎(1)任意性,即“任意取x1,x‎2”‎中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;‎ ‎(2)有大小,通常规定x1f(1).(  )‎ ‎(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)×‎ - 6 -‎ ‎2.函数y=f(x)的图象如图131所示,其增区间是(  )‎ 图131‎ A.[-4,4]‎ B.[-4,-3]∪[1,4]‎ C.[-3,1]‎ D.[-3,4]‎ C [由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选C.]‎ ‎3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是(  )‎ ‎【导学号:37102125】‎ A.y=-       B.y=x C.y=x2 D.y=1-x D [函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,故选D.]‎ ‎4.函数f(x)=x2-2x+3的单调减区间是________.‎ ‎(-∞,1) [因为f(x)=x2-2x+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=1,所以函数f(x)的单调减区间是(-∞,1).]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的单调区间 ‎ 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.‎ ‎(1)f(x)=-;(2)f(x)= ‎(3)f(x)=-x2+2|x|+3. ‎ ‎【导学号:37102126】‎ ‎[解] (1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.‎ ‎(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.‎ ‎(3)因为f(x)=-x2+2|x|+3= 根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,‎ 函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).‎ f(x - 6 -‎ ‎)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.‎ ‎[规律方法] ‎ ‎1.求函数单调区间的方法 ‎(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;‎ ‎(2)利用函数的图象,如本例(3).‎ ‎2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3).‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(1)根据如图132说出函数在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数;‎ 图132‎ ‎(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.‎ ‎[解] (1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.‎ ‎(2)先画出 f(x)=的图象,如图.‎ 所以y=|x2-2x-3|的单调减区间为(-∞,-1],[1,3];单调增区间为[-1,1],[3,+∞).‎ 函数单调性的判定与证明 ‎ 证明函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数. ‎ ‎【导学号:37102127】‎ 思路探究:―→‎ - 6 -‎ ‎[证明] 设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x10,即f(x1)>f(x2),‎ ‎∴f(x)=x+在(0,1)上是减函数.‎ ‎[规律方法] ‎ 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1x2>1,‎ 则f(x1)-f(x2)=-=,‎ 因为x1>x2>1,‎ 所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0,‎ 所以f(x1)f(b),则a,b满足什么关系.如果函数f(x)是减函数呢?‎ 提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b;若函数f(x - 6 -‎ ‎)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,ag(5x+6)”,求实数x的取值范围.‎ ‎[解] ∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),‎ ‎∴2x-3>5x+6,即x<-3.‎ 所以实数x的取值范围为(-∞,-3).‎ ‎[规律方法] 函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.‎ (2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.如图133是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是(  )‎ - 6 -‎ 图133‎ A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 C [由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用并集“∪”连接,故选C.]‎ ‎2.函数f(x)在R上是减函数,则有(  ) ‎ ‎【导学号:37102129】‎ A.f(3)f(5) D.f(3)≥f(5)‎ C [∵3<5,且f(x)在R上是减函数,∴f(3)>f(5).]‎ ‎3.如果函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b的取值范围为(  )‎ A.b=3 B.b≥3‎ C.b≤3 D.b≠3‎ C [函数f(x)=x2-2bx+2的图象是开口向上,且以直线x=b为对称轴的抛物线,‎ 若函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b≤3,故选C.]‎ ‎4.已知函数f(x)=(k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是________. ‎ ‎【导学号:37102130】‎ ‎(-∞,0) [结合反比例函数的单调性可知k<0.]‎ ‎5.证明:函数y=在(-1,+∞)上是增函数.‎ ‎[证明] 设x1>x2>-1,则 y1-y2=-=.‎ ‎∵x1>x2>-1,∴x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0,‎ ‎∴>0,即y1-y2>0,y1>y2,‎ ‎∴y=在(-1,+∞)上是增函数.‎ - 6 -‎