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- 2021-06-10 发布
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第1课时 函数的单调性
学习目标:1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点)3.会求一些具体函数的单调区间.(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.增函数与减函数的定义
条件
一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时
都有f(x1)<f(x2)
都有f(x1)>f(x2)
结论
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图示
思考1:增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征?
[提示] 定义中的x1,x2有以下3个特征
(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;
(2)有大小,通常规定x1f(1).( )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
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2.函数y=f(x)的图象如图131所示,其增区间是( )
图131
A.[-4,4]
B.[-4,-3]∪[1,4]
C.[-3,1]
D.[-3,4]
C [由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选C.]
3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( )
【导学号:37102125】
A.y=- B.y=x
C.y=x2 D.y=1-x
D [函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,故选D.]
4.函数f(x)=x2-2x+3的单调减区间是________.
(-∞,1) [因为f(x)=x2-2x+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=1,所以函数f(x)的单调减区间是(-∞,1).]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.
(1)f(x)=-;(2)f(x)=
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
【导学号:37102126】
[解] (1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.
(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
(3)因为f(x)=-x2+2|x|+3=
根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,
函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).
f(x
- 6 -
)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.
[规律方法]
1.求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;
(2)利用函数的图象,如本例(3).
2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3).
[跟踪训练]
1.(1)根据如图132说出函数在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数;
图132
(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.
[解] (1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.
(2)先画出
f(x)=的图象,如图.
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间为(-∞,-1],[1,3];单调增区间为[-1,1],[3,+∞).
函数单调性的判定与证明
证明函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数.
【导学号:37102127】
思路探究:―→
- 6 -
[证明] 设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x10,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)=x+在(0,1)上是减函数.
[规律方法]
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1x2>1,
则f(x1)-f(x2)=-=,
因为x1>x2>1,
所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0,
所以f(x1)f(b),则a,b满足什么关系.如果函数f(x)是减函数呢?
提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b;若函数f(x
- 6 -
)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,ag(5x+6)”,求实数x的取值范围.
[解] ∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),
∴2x-3>5x+6,即x<-3.
所以实数x的取值范围为(-∞,-3).
[规律方法] 函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1.如图133是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
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图133
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
C [由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用并集“∪”连接,故选C.]
2.函数f(x)在R上是减函数,则有( )
【导学号:37102129】
A.f(3)f(5) D.f(3)≥f(5)
C [∵3<5,且f(x)在R上是减函数,∴f(3)>f(5).]
3.如果函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b的取值范围为( )
A.b=3 B.b≥3
C.b≤3 D.b≠3
C [函数f(x)=x2-2bx+2的图象是开口向上,且以直线x=b为对称轴的抛物线,
若函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b≤3,故选C.]
4.已知函数f(x)=(k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是________.
【导学号:37102130】
(-∞,0) [结合反比例函数的单调性可知k<0.]
5.证明:函数y=在(-1,+∞)上是增函数.
[证明] 设x1>x2>-1,则
y1-y2=-=.
∵x1>x2>-1,∴x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0,
∴>0,即y1-y2>0,y1>y2,
∴y=在(-1,+∞)上是增函数.
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