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- 2021-06-10 发布
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课时分层作业(十九)平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.若{i,j}为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三象限 D.第四象限
D [x2+x+1=2+>0,
x2-x+1=2+>0,
所以向量a对应的坐标位于第四象限.]
2.已知M(3,-2),N(-5,-1)且=,则点P的坐标为( )
【导学号:84352224】
A.(-8,1) B.
C. D.(8,-1)
C [因为=,
所以-=(-),
=+
=(3,-2)+(-5,-1)
=,
即点P坐标为.]
3.已知a-b=(1,2),a+b=(4,-10),则a等于( )
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(2,-2)
6
D [由已知得2a-b=(2,4),a+b=(4,-10),
所以3a=(6,-6),a=(2,-2).]
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于( )
【导学号:84352225】
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
D [因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).]
5.已知点A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若=+m,且点P在y轴上,则m=( )
A.-2 B.
C.- D.2
B [设P(x,y),由题意=m,
∴∴P(-5m+1,m+2),又点P在y轴上,∴-5m+1=0,m=.]
二、填空题
6.如图2316,在▱ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=________.
图2316
(-3,-5) [=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),
=+=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).]
7.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图2317所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.
图2317
6
4 [以向量a的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设一个小正方形网格的边长为1,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由c=λa+μb,即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),得-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,故λ=-2,μ=-,则=4.]
8.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1+λ2=________.
【导学号:84352226】
1 [由c=λ1a+λ2b,
得(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3),
所以解得λ1=-1,λ2=2,
所以λ1+λ2=1.]
三、解答题
9.已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求的坐标.
[解] 因为A(-1,2),B(2,8),
所以=(2,8)-(-1,2)=(3,6),
=(-3,-6),
所以==(1,2),=-=(1,2),
=(-1,-2),
所以=-=(-1,-2)-(1,2)=(-2,-4).
10.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
【导学号:84352227】
[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
6
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴解得
(3)设O为坐标原点,∵=-=3c,
∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),
∴M(0,20).
又∵=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
∴N(9,2),∴=(9,-18).
[冲A挑战练]
1.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°,设=λ+(1-λ)(λ∈R),则λ的值为( )
A. B.
C. D.
C [如图所示,∵∠AOC=45°,
设C(x,-x),则=(x,-x).
又∵A(-3,0),B(0,2),
∴λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ),
∴⇒λ=.]
2.已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于( )
【导学号:84352228】
A.{(1,1)} B.{(-1,1)}
C.{(1,0)} D.{(0,1)}
6
A [a=(1,0)+m(0,1)=(1,m),
b=(1,1)+n(-1,1)=(1-n,1+n).
由a=b得解得
故P∩Q={(1,1)}.]
3.已知A(2,3),B(1,4),且=(sin α,cos β),α,β∈,则α+β=________.
或- [因为=(-1,1)==(sin α,cos β),
所以sin α=-,cos β=,
所以α=-,β=-或,
所以α+β=或-.]
4.等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.
【导学号:84352229】
(2,4) [设点D的坐标为(x,y).
因为DC=2AB,所以=2.
因为=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),
=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
所以(4-x,2-y)=2(1,-1),
即(4-x,2-y)=(2,-2),
所以解得故点D的坐标为(2,4).]
10.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
【导学号:84352227】
[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
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=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴解得
(3)设O为坐标原点,∵=-=3c,
∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),
∴M(0,20).
又∵=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
∴N(9,2),∴=(9,-18).
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