2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6 8页

‎6.3　对数函数 第1课时　对数函数的概念、图象与性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解对数函数的概念．‎ ‎2．掌握对数函数的图象和性质．(重点)‎ ‎3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)‎ ‎4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象的核心素养．‎ 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……经过多少次分裂，大约可以得到1万个细胞？10万个细胞？……你能求出分裂次数y随着细胞个数x变化的函数关系么？‎ ‎1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．‎ ‎2．对数函数的图象与性质 - 8 -‎ ‎3．反函数 ‎(1)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．‎ ‎(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．‎ ‎(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．‎ ‎(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对数函数的定义域为R． (　　)‎ ‎(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数． (　　)‎ ‎(3)对数函数的图象一定在y轴右侧． (　　)‎ ‎(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．对数函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)＝　　　　．‎ ‎3　[设f(x)＝loga x，则loga 4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，‎ ‎∴f(8)＝log2 8＝3．]‎ ‎3．(1)函数f(x)＝的定义域是　　　　．‎ ‎(2)若对数函数y＝log(1－‎2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为　　　　．‎ ‎(3)若g(x)与f(x)＝2x互为反函数，则g(2)＝　　　　　　　．‎ ‎(1){x|x>－1且x≠1}　(2)(－∞，0)　(3)1‎ ‎[(1)⇒x>－1且x≠1．‎ ‎(2)由题意得1－‎2a＞1，所以a＜0．‎ ‎(3)f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝log2 x，‎ ‎∴g(2)＝log2 2＝1．]‎ - 8 -‎ 对数函数的概念 ‎【例1】　判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．‎ ‎(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；‎ ‎(2)y＝log2x－1；‎ ‎(3)y＝2log8x；‎ ‎(4)y＝logxa(x＞0，且x≠1)．‎ ‎[思路点拨]　依据对数函数的定义来判断．‎ ‎[解]　(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；‎ ‎(2)中对数式后减1，‎ ‎∴不是对数函数；‎ ‎(3)中log8x前的系数是2，而不是1，‎ ‎∴不是对数函数；‎ ‎(4)中底数是自变量x，而不是常数a，‎ ‎∴不是对数函数．‎ 一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：‎ ‎(1)系数为1；‎ ‎(2)底数为大于0且不等于1的常数；‎ ‎(3)对数的真数仅有自变量x．‎ ‎1．对数函数f(x)满足f(2)＝2，则f＝　　　　．‎ ‎－2　[设f(x)＝loga x(a>0且a≠1)，‎ 由题知f(2)＝loga 2＝2，故a2＝2，∴a＝或－(舍)．‎ ‎∴f＝log ＝－2．]‎ 对数函数的定义域问题 ‎【例2】　求下列函数的定义域：‎ ‎(1)f(x)＝logx－1(x＋2)；(2)f(x)＝；‎ ‎(3)f(x)＝；(4)f(x)＝(a>0且a≠1)．‎ ‎[思路点拨]　根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．‎ - 8 -‎ ‎[解]　(1)由题知解得x>1且x≠2，‎ ‎∴f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．‎ ‎(2)由 得⇒⇒0≤x<1．‎ ‎∴函数的定义域为[0,1)．‎ ‎(3)由题知⇒ ‎∴x>1且x≠2．‎ 故f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．‎ ‎(4)由题知⇒ 当a>1时，－a<－1．‎ 由①得x＋aa．‎ ‎∴x>0．‎ ‎∴f(x)的定义域为{x|x>0}．‎ 故所求f(x)的定义域是：‎ 当01时，x∈(－a,0)．‎ 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.‎ ‎2．(1)函数y＝ln (1－2x)的定义域为　　　　．‎ ‎(2)函数y＝的定义域为　　　　．‎ ‎(1)　(2)　[(1)由题知解得0≤x<，∴定义域为．‎ ‎(2)由题知解得x>，∴定义域为x．]‎ 比较对数式的大小 - 8 -‎ ‎[探究问题]‎ ‎1．在同一坐标系中作出y＝log2 x，y＝logx，y＝lg x，y＝log0．1 x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论？‎ ‎[提示]　图象如图．作直线y＝1，与这些对数函数的图象交点的横坐标就是相应对数函数的底．‎ 结论：对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数01，b，c都大于0且小于1，由于y＝logb x的图象在(1，＋∞)上比y＝logc x的图象靠近x轴，所以blog5 1＝0，‎ ‎∴log3 log0．7 1.1>log0．7 1.2．‎ ‎∴<，‎ 由换底公式可得log1．1 0.7a>c．‎ 而y＝2x是增函数，∴2b>‎2a>‎2c．‎ 比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．‎ ‎3．比较下列各组数的大小．‎ ‎(1)log3 3.4与log3 8.5；(2)log0.1 3与log0.6 3；‎ ‎(3)log4 5与log6 5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．‎ ‎[解]　(1)∵底数3>1，‎ ‎∴y＝log3 x在(0，＋∞)上是增函数，于是log3 3．4log0．6 3．‎ ‎(3)∵log4 5>log4 4＝1，‎ log6 5log6 5．‎ ‎(4)①当0(lg m)2.1；‎ ‎②当lg m＝1，即m＝10时，(lg m)1.9＝(lg m)2.1；‎ ‎③当lg m>1，即m>10时，y＝(lg m)x在R上是增函数，‎ ‎∴(lg m)1.9<(lg m)2.1．‎ - 8 -‎ ‎1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式．‎ ‎2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．‎ ‎3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．‎ ‎1．下列函数是对数函数的是(　　)‎ A．y＝loga(2x) B．y＝log2 2x C．y＝log2 x＋1 D．y＝lg x．‎ D　[根据对数函数的定义，只有D是对数函数．]‎ ‎2．(一题两空)函数y＝ln x的单调增区间是　　　　，反函数是　　　　．‎ ‎(0，＋∞)　y＝ex　[y＝ln x的底为e>1，故y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y＝ex．]‎ ‎3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　　　　．‎ ‎(2,1)　[函数可化为y－1＝loga(2x－3)，‎ 可令解得即P(2,1)．]‎ ‎4．求下列函数的定义域：‎ ‎[解]　(1)由题知即⇒x>－且x≠－．‎ 所以定义域为．‎ ‎(2)由题意得解得 所以y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为 即0