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- 2021-06-10 发布
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第3讲 平面向量与复数
平面向量的概念与线性运算
[核心提炼]
1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化;
2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.
[典型例题]
(1)(2019·杭州模拟)如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( )
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
(2)(2019·金华市十校联考)已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,点P满足=(++2),则为( )
A. B.
C.2 D.
(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC中,点D满足=,当点E在射线AD(不含点A)上移动时,若=λ+μ,则(λ+1)2+μ2的取值范围为________.
【解析】 (1)连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,
所以=+=b+a.
(2)如图,延长CO,交AB中点D,O是△ABC的重心,则=(++2)=(2+2)=(-+2)=,
所以OP=OC=×CD=CD;
- 21 -
所以DP=DO+OP=CD+CD=CD,DO=CD;
所以===.
(3)因为点E在射线AD(不含点A)上,设=k(k>0),又=,
所以=k(+)=
k=+,
所以,(λ+1)2+μ2=+k2=+>1,故(λ+1)2+μ2的取值范围为(1,+∞).
【答案】 (1)D (2)A (3)(1,+∞)
平面向量的线性运算技巧
(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底,同时注意共线向量定理的灵活运用.
(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.
[对点训练]
1.(2019·瑞安市四校联考)设M是△ABC边BC上的点,N为AM的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为( )
A. B. C. D.1
解析:选C.因为M在BC边上,所以存在实数t∈[0,1]使得=t.
=+=+t=+t(-)=(1-t)+t,
因为N为AM的中点,
所以==+,
- 21 -
所以λ=,μ=,所以λ+μ=+=,故C正确.
2.(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=.若动点P满足=(1-λ)+,(λ∈R),则点P的轨迹与直线BC,AC所围成的封闭区域的面积为( )
A.5 B.10
C.2 D.4
解析:选A.设=,
因为=(1-λ)+=(1-λ)+λ,
所以B,D,P三点共线.
所以P点轨迹为直线BC.
在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=,
所以sin C=,
所以S△ABC=×7×6×=15,
所以S△BCD=S△ABC=5.
3.(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________,最大值是________.
解析:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),所以λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6),所以当时,可取λ1=λ3=1,λ5=λ6=1,λ2=-1,λ4=1,此时|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|取得最小值0;取λ1=1,λ3=-1,λ5=λ6=1,λ2=1,λ4=-1,则|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|取得最大值=2.
答案:0 2
- 21 -
平面向量的数量积
[核心提炼]
1.平面向量的数量积的两种运算形式
(1)数量积的定义:a·b=|a||b|cos θ(其中θ为向量a,b的夹角);
(2)坐标运算:a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,a·b=x1x2+y1y2.
2.平面向量的三个性质
(1)若a=(x,y),则|a|==.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则
||=.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )
A.-1 B.+1
C.2 D.2-
(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=k,|c|=2-k且a+b+c=0,则b与c夹角的余弦值的取值范围是________.
【解析】 (1)设O为坐标原点,a=,b==(x,y),e=(1,0),由b2-4e·b+3=0得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a与e的夹角为,所以不妨令点A在射线y=x(x>0)上,如图,数形结合可知
|a-b|min=||-||=-1.故选A.
(2)设b与c的夹角为θ,由题b+c=-a,
- 21 -
所以b2+c2+2b·c=1.
即cos θ==1+.
因为|a|=|b+c|≥|b-c|,所以|2k-2|≤1.
所以≤k≤.
所以-1≤cos θ≤-.
【答案】 (1)A (2)
(1)平面向量数量积的计算
①涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思路
(ⅰ)直接利用数量积的定义;
(ⅱ)建立坐标系,通过坐标运算求解.
②在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算.
(2)求解向量数量积最值问题的两种思路
①直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值.
②建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值.
[对点训练]
1.(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a、b满足|a|=|b|=1,a·b=,若向量c满足|a-b+c|≤1,则|c|的最大值为( )
A.1 B.
C. D.2
解析:选D.由平面向量a、b满足|a|=|b|=1,a·b=,
可得|a|·|b|·cos〈a,b〉=1·1·cos〈a,b〉=,
由0≤〈a,b〉≤π,可得〈a,b〉=,
设a=(1,0),b=,c=(x,y),
则|a-b+c|≤1,即有≤1,
即为+≤1,
- 21 -
故|a-b+c|≤1的几何意义是在以为圆心,半径等于1的圆上和圆内部分,|c|的几何意义是表示向量c的终点与原点的距离,而原点在圆上,则最大值为圆的直径,即为2.
2.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( )
A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2
C.I3 < I1<I2 D.I2<I1<I3
解析:选C.如图所示,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AOI3,作AG⊥BD于G,又AB=AD,所以OB·,即I1>I3.所以I3
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