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- 2021-06-10 发布
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1.4.1正弦、余弦函数的图象
教学目的:
知识目标:(1)利用单位圆中的三角函数线作出的图象,明确图象的形状;
(2)根据关系,作出的图象;
(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题;
能力目标:(1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法;
(2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法;
德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工作精神;
教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象;
教学难点:作余弦函数的图象。
教学过程:
一、复习引入:
1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)
P与原点的距离r()
则比值叫做的正弦 记作:
比值叫做的余弦 记作:
3.正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M,则有
,
向线段MP叫做角α的正弦线,有向线段OM叫做角α的余弦线.
二、讲解新课:
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.
(1)函数y=sinx的图象
第一步:在直角坐标系的x轴上任取一点,以为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x值—弧度制下角与实数的对应).
第二步:在单位圆中画出对应于角,,,…,2π的正弦线正弦线(等价于“列表” ).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象.
根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈R的图象.
把角x的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
(2)余弦函数y=cosx的图象
探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象?
根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. (课件第三页“平移曲线” )
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
余弦函数y=cosx xÎ[0,2p]的五个点关键是哪几个?(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.
优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以
3、讲解范例:
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π], (2)y=-COSx
●探究2. 如何利用y=sinx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到
(1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π〕的图象;
(2)y=sin(x- π/3)的图象?
小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。
● 探究3.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=-cosx ,
x∈〔0,2π〕的图象?
小结:这两个图像关于X轴对称。
●探究4.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cosx ,x∈〔0,2π〕的图象?
小结:先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形,得到 y=-cosx的图象,
再将y=-cosx的图象向上平移2个单位,得到 y=2-cosx 的图象。
●探究5.
不用作图,你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想。
小结:sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等,图象重合。
例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合:
三、巩固与练习
四、小 结:本节课学习了以下内容:
1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系
五、课后作业:《习案》作业:八
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