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  • 2021-06-10 发布

北师版高中数学必修一第10讲:对数与对数运算(教师版)

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1 对数与对数运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系; 2、掌握对数式与指数式的相互转化,并能运用指对互化关系研究一些问题. 一、对数的定义 一般地,如果  1,0  aaa 的b次幂等于 N , 就是 Nab  ,那么数 b叫做 以 a为底 N 的 对数,记作 bNa log , a叫做对数的底数, N 叫做真数。 特别提醒: 1、对数记号 loga N 只有在 0 1a a 且 , 0N  时才有意义,就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式:① log 1 0a  ;② log 1a a  。 3、常用对数:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。为了简便, N 的常用对数 N10log , 简记作: lgN 。 例如: 10log 5简记作 lg5 ; 5.3log10 简记作 lg3.5。 4、自然对数:在科学技术中常常使用以无理数 e 为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数。为 了简便, N 的自然对数 Nelog ,简记作: ln N 。 如: 3log e 简记作 ln 3; 10loge 简记作 ln10。 二、对数运算性质: 如果 0, 1, 0, 0,a a M N n R    有: log ( ) log log a a aMN M N  log log log a a a M M N N   log log ( ) n a aM n M n R  特别提醒: 1、对于上面的每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时,等式才成 立。如  2log ( 3)( 5)  是存在的,但  2 2 2log ( 3)( 5) log ( 3) log ( 5)      是不成立的。 2、注意上述公式的逆向运用:如 lg5 lg 2 lg10 1   ; 2 三、对数的换底公式及推论: 对数换底公式:  loglog 0, 1, 0, 1, 0 log m a m NN a a m m N a      两个常用的推论: (1) 1loglog  ab ba (2) 1logloglog  acb cba 四、两个常用的恒等式: Na Na log , log logm n aa nb b m   0, 1, 0, 0a a b N   类型一 指数式与对数式的相互转化 例 1:将下列指数式与对数式进行互化. (1)3 x = 1 27 ; (2) 1 4 x =64; (3)5 - 1 2 = 1 5 ; (4)log 24=4; (5)lg0.001=-3; (6)log 2-1( 2+1)=-1. 解析:(1)log3 1 27 =x. (2) log1 4 64=x. (3)log5 1 5 =- 1 2 . (4)( 2)4=4. (5)10 -3 =0.001. (6)( 2-1) -1 = 2+1. 答案:见解析 练习 1:将下列指数式与对数式进行互化. (1)e 0 =1; (2)(2+ 3) -1 =2- 3; (3)log327=3; (4)log0.10.001=3. 答案:(1)ln1=0.(2)log(2+ 3)(2- 3)=-1.(3)33=27.(4)0.13=0.001. 练习 2:将下列对数式与指数式进行互化. (1)2 -4 = 1 16 ;(2)5 3 =125;(3)lga=2;(4)log232=5. 3 答案:(1)log2 1 16 =-4. (2)log5125=3. (3)102=a. (4)25=32. 类型二 对数基本性质的应用 例 2:求下列各式中 x的值. (1)log2(log5x)=0; (2)log3(lgx)=1; 解析:(1)∵log2(log5x)=0, ∴log5x=1,∴x=5. (2)∵log3(lgx)=1,∴lgx=3,∴x=10 3 =1 000. 答案:(1)x=5.(2) x=1 000. 练习 1:已知 log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=0,求 x+y 的值. 答案:80 练习 2:(2014~2015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知 4 a =2,lgx=a,则 x =______. 答案: 10 类型三 对数的运算法则 例 3:计算(1)loga2+loga 1 2 (a>0 且 a≠1); (2)log318-log32; (3)2log510+log50.25; 解析:(1)loga2+loga 1 2 =loga(2× 1 2 )=loga1=0. (2)log318-log32=log3(18÷2)=log39=2. (3)2log510+log50.25=log5100+log50.25 =log5(100×0.25)=log525=2. 答案: (1)0 (2)2 (3)2 练习 1:(2014~2015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算 log535+2log2 2- log5 1 50 -log514 的值. 答案:4 练习 2:(2014~2015 学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算:2log510+log50.25 的值为 ________. 答案:2 类型四 带有附加条件的对数式的运算 例 4:lg2=a,lg3=b,试用 a、b表示 lg108,lg 18 25 . 解析:lg108=lg(27×4)=lg(3 3 ×2 2 )=lg3 3 +lg2 2 =3lg3+2lg2=2a+3b. lg 18 25 =lg18-lg25=lg(2×3 2 )-lg 10 2 2 2 =lg2+lg3 2 -lg10 2 +lg2 2 =lg2+2lg3-2+2lg2=3a+ 2b-2. 4 答案:3a+2b-2. 练习 1:已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求 lg 45. 答案:0.8266 练习 2:若 lgx-lgy=a,则 lg( x 2 )3-lg( y 2 )3等于( ) A. a 2 B.a C. 3a 2 D.3a 答案:D 类型五 应用换底公式求值 例 5: 计算:lg 1 2 -lg 5 8 +lg12.5-log89·log278. 解析:lg 1 2 -lg 5 8 +lg12.5-log89·log278 =lg 1 2 -lg 5 8 +lg 25 2 - lg9 lg8 · lg8 lg27 =lg 1 2 × 8 5 × 25 2 - 2lg3 3lg3 =1- 2 3 = 1 3 . 答案: 1 3 练习 1: 计算(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258). 答案:13 练习 2: log89·log32 的值为( ) A. 2 3 B.1 C. 3 2 D.2 答案:A 类型六 应用换底公式化简 例 6: 已知 log89=a,log25=b,用 a、b 表示 lg3. 解析:∵log89= lg9 lg8 = 2lg3 3lg2 =a,① 又∵log25= lg5 lg2 = 1-lg2 lg2 =b,② 由①②消去 lg2 可得:lg3= 3a 2 1+b . 答案:lg3= 3a 2 1+b . 练习 1: (2014~2015 学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知 log23=a,log37=b,则 log1456=( ) A. ab+3 ab+1 B. a b+3 ab+1 C. b+3 ab+1 D. ab-3 ab+1 答案:A 5 练习 2: 已知 log72=p,log75=q,则 lg5 用 p、q 表示为( ) A.pq B. q p+q C. 1+pq p+q D. pq 1+pq 答案:B 1、使对数 loga(-2a+1)有意义的 a 的取值范围为( ) A.0<a< 1 2 且 a≠1 B.0<a< 1 2 C.a>0 且 a≠1 D.a< 1 2 答案: B 2、(2014~2015 学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知 x、y为正实数,则下列各式正 确的是( ) A.2lgx+lgy2=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx·2lgy C.2(lgx·lgy)=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx·2lgy 答案:A 3、(2014~2015 学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若 lg2=a,lg3=b,则 lg12 lg15 等于( ) A. 2a+b 1-a+b B. 2a+b 1+a+b C. a+2b 1-a+b D. a+2b 1+a+b 答案:A 4、.log52·log425 等于( ) A.-1 B.1 2 C.1 D.2 答案:C 5、化简 log1 a b-loga 1 b 的值为( ) A.0 B.1 C.2logab D.-2logab 答案:A _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 6 基础巩固 1.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x-1 2 等于( ) A. 1 3 B. 1 2 3 C. 1 2 2 D. 1 3 3 答案:C 2.若 f(10x)=x,则 f(3)的值为( ) A.log310 B.lg3 C.103 D.310 答案:B 3.如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( ) A.x=a+3b-c B.x=3ab 5c C.x=ab3 c5 D.x=a+b3-c3 答案:C 4.方程 2log3x= 1 4 的解是( ) A. 3 3 B. 3 C.1 9 D.9 答案:C 5.eln3-e-ln2 等于( ) A.1 B.2 C.5 2 D.3 答案: C 能力提升 6.若 log(1-x)(1+x)2=1,则 x=________. 答案:-3 7.若 logx(2+ 3)=-1,则 x=________. 答案: 2- 3 7 8.已知 log32=a,则 2log36+log30.5=________. 答案:2+a 9. (1)设 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n的值; (2)设 x=log23,求 22x+2-2x+2 2x+2-x 的值. 答案:(1) 12. (2) 10 3 . 10. 已知 logax+3logxa-logxy=3(a>1). (1)若设 x=at,试用 a、t表示 y; (2)若当 0<t≤2 时,y有最小值 8,求 a和 x的值. 答案:(1)y=at2-3t+3(t≠0). (2) a=16,x=64.