北师版高中数学必修一第10讲：对数与对数运算（教师版） 7页

1 对数与对数运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系； 2、掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题. 一、对数的定义 一般地，如果  1,0  aaa 的b次幂等于 N , 就是 Nab  ，那么数 b叫做 以 a为底 N 的 对数，记作 bNa log ， a叫做对数的底数， N 叫做真数。 特别提醒： 1、对数记号 loga N 只有在 0 1a a 且 ， 0N  时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式：① log 1 0a  ；② log 1a a  。 3、常用对数：我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。为了简便, N 的常用对数 N10log ， 简记作： lgN 。 例如： 10log 5简记作 lg5 ; 5.3log10 简记作 lg3.5。 4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数 e 为底的对数，以 e 为底的对数叫自然对数。为 了简便， N 的自然对数 Nelog ，简记作： ln N 。 如： 3log e 简记作 ln 3； 10loge 简记作 ln10。 二、对数运算性质： 如果 0, 1, 0, 0,a a M N n R    有： log ( ) log log a a aMN M N  log log log a a a M M N N   log log ( ) n a aM n M n R  特别提醒： 1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成 立。如  2log ( 3)( 5)  是存在的，但  2 2 2log ( 3)( 5) log ( 3) log ( 5)      是不成立的。 2、注意上述公式的逆向运用：如 lg5 lg 2 lg10 1   ； 2 三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：  loglog 0, 1, 0, 1, 0 log m a m NN a a m m N a      两个常用的推论: （1） 1loglog  ab ba （2） 1logloglog  acb cba 四、两个常用的恒等式： Na Na log ， log logm n aa nb b m   0, 1, 0, 0a a b N   类型一 指数式与对数式的相互转化 例 1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)3 x ＝ 1 27 ； (2) 1 4 x ＝64； (3)5 － 1 2 ＝ 1 5 ； (4)log 24＝4； (5)lg0.001＝－3; (6)log 2－1( 2＋1)＝－1. 解析：(1)log3 1 27 ＝x. (2) log1 4 64＝x. (3)log5 1 5 ＝－ 1 2 . (4)( 2)4＝4. (5)10 －3 ＝0.001. (6)( 2－1) －1 ＝ 2＋1. 答案：见解析 练习 1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)e 0 ＝1； (2)(2＋ 3) －1 ＝2－ 3； (3)log327＝3； (4)log0.10.001＝3. 答案：(1)ln1＝0.(2)log(2＋ 3)(2－ 3)＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001. 练习 2：将下列对数式与指数式进行互化． (1)2 －4 ＝ 1 16 ；(2)5 3 ＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5. 3 答案：(1)log2 1 16 ＝－4. (2)log5125＝3. (3)102＝a. (4)25＝32. 类型二 对数基本性质的应用 例 2：求下列各式中 x的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lgx)＝1； 解析：(1)∵log2(log5x)＝0， ∴log5x＝1，∴x＝5. (2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝10 3 ＝1 000. 答案：（1）x＝5.（2） x＝1 000. 练习 1：已知 log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求 x＋y 的值． 答案：80 练习 2：(2014～2015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知 4 a ＝2，lgx＝a，则 x ＝______. 答案： 10 类型三 对数的运算法则 例 3：计算(1)loga2＋loga 1 2 (a>0 且 a≠1)； (2)log318－log32； (3)2log510＋log50.25； 解析：(1)loga2＋loga 1 2 ＝loga(2× 1 2 )＝loga1＝0. (2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2. (3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25 ＝log5(100×0.25)＝log525＝2. 答案: （1）0 （2）2 （3）2 练习 1：(2014～2015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算 log535＋2log2 2－ log5 1 50 －log514 的值． 答案:4 练习 2：(2014～2015 学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2log510＋log50.25 的值为 ________． 答案：2 类型四 带有附加条件的对数式的运算 例 4：lg2＝a，lg3＝b，试用 a、b表示 lg108，lg 18 25 . 解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(3 3 ×2 2 )＝lg3 3 ＋lg2 2 ＝3lg3＋2lg2＝2a＋3b. lg 18 25 ＝lg18－lg25＝lg(2×3 2 )－lg 10 2 2 2 ＝lg2＋lg3 2 －lg10 2 ＋lg2 2 ＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋ 2b－2. 4 答案：3a＋2b－2. 练习 1：已知 lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求 lg 45. 答案：0.8266 练习 2：若 lgx－lgy＝a，则 lg( x 2 )3－lg( y 2 )3等于( ) A． a 2 B．a C． 3a 2 D．3a 答案:D 类型五 应用换底公式求值 例 5: 计算：lg 1 2 －lg 5 8 ＋lg12.5－log89·log278. 解析：lg 1 2 －lg 5 8 ＋lg12.5－log89·log278 ＝lg 1 2 －lg 5 8 ＋lg 25 2 － lg9 lg8 · lg8 lg27 ＝lg 1 2 × 8 5 × 25 2 － 2lg3 3lg3 ＝1－ 2 3 ＝ 1 3 . 答案： 1 3 练习 1: 计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 答案：13 练习 2: log89·log32 的值为( ) A． 2 3 B．1 C． 3 2 D．2 答案：A 类型六 应用换底公式化简 例 6: 已知 log89＝a，log25＝b，用 a、b 表示 lg3. 解析：∵log89＝ lg9 lg8 ＝ 2lg3 3lg2 ＝a，① 又∵log25＝ lg5 lg2 ＝ 1－lg2 lg2 ＝b，② 由①②消去 lg2 可得：lg3＝ 3a 2 1＋b . 答案：lg3＝ 3a 2 1＋b . 练习 1: (2014～2015 学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知 log23＝a，log37＝b，则 log1456＝( ) A． ab＋3 ab＋1 B． a b＋3 ab＋1 C． b＋3 ab＋1 D． ab－3 ab＋1 答案：A 5 练习 2: 已知 log72＝p，log75＝q，则 lg5 用 p、q 表示为( ) A．pq B． q p＋q C． 1＋pq p＋q D． pq 1＋pq 答案：B 1、使对数 loga(－2a＋1)有意义的 a 的取值范围为( ) A．0＜a＜ 1 2 且 a≠1 B．0＜a＜ 1 2 C．a＞0 且 a≠1 D．a＜ 1 2 答案： B 2、(2014～2015 学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知 x、y为正实数，则下列各式正 确的是( ) A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy C．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy 答案：A 3、(2014～2015 学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若 lg2＝a，lg3＝b，则 lg12 lg15 等于( ) A． 2a＋b 1－a＋b B． 2a＋b 1＋a＋b C． a＋2b 1－a＋b D． a＋2b 1＋a＋b 答案：A 4、．log52·log425 等于( ) A．－1 B．1 2 C．1 D．2 答案：C 5、化简 log1 a b－loga 1 b 的值为( ) A．0 B．1 C．2logab D．－2logab 答案:A _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 6 基础巩固 1．已知 log7[log3(log2x)]＝0，那么 x－1 2 等于( ) A． 1 3 B． 1 2 3 C． 1 2 2 D． 1 3 3 答案：C 2．若 f(10x)＝x，则 f(3)的值为( ) A．log310 B．lg3 C．103 D．310 答案：B 3．如果 lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么( ) A．x＝a＋3b－c B．x＝3ab 5c C．x＝ab3 c5 D．x＝a＋b3－c3 答案：C 4．方程 2log3x＝ 1 4 的解是( ) A． 3 3 B． 3 C．1 9 D．9 答案：C 5．eln3－e－ln2 等于( ) A．1 B．2 C．5 2 D．3 答案: C 能力提升 6．若 log(1－x)(1＋x)2＝1，则 x＝________. 答案：-3 7．若 logx(2＋ 3)＝－1，则 x＝________. 答案： 2－ 3 7 8．已知 log32＝a，则 2log36＋log30.5＝________. 答案：2＋a 9. (1)设 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m＋n的值； (2)设 x＝log23，求 22x＋2－2x＋2 2x＋2－x 的值． 答案：(1) 12. (2) 10 3 . 10. 已知 logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)． (1)若设 x＝at，试用 a、t表示 y； (2)若当 0＜t≤2 时，y有最小值 8，求 a和 x的值． 答案：(1)y＝at2－3t＋3(t≠0)． (2) a＝16，x＝64.