2020高中数学 课时分层作业15 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 4页

课时分层作业(十五) 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）‎ ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　)‎ A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．不确定 B　[f′(x)＝3x2，由3x2＝3得x＝±1，故选B.]‎ ‎2．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　)‎ A．0 　　　B．－‎1　‎　　C．1 　　　D．2‎ A　[f′(x)＝－sin x，则f′＝－sin ＝－，f＝cos ＝.故f′＋f＝0.]‎ ‎3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 (　　)‎ A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0‎ C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0‎ A　[由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，所以l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.]‎ ‎4．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为(　　)‎ A. B.或 C.(k∈Z)‎ D.或(k∈Z)‎ D　[y′＝cos x，由cos x＝得x＝2kπ＋或x＝2kπ－，k∈Z.故选D.]‎ ‎5．过曲线y＝cos x上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为(　　) ‎ ‎【导学号：97792136】‎ A．2x－y－＋＝0‎ 4‎ B.x＋2y－－1＝0‎ C．2x＋y－＋＝0‎ D.x＋2y－＋1＝0‎ A　[∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，曲线在点P处的切线斜率是y′|x＝＝－sin ＝－，∴过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，∴所求的直线方程为y－＝，即2x－y－＋＝0.]‎ 二、填空题 ‎6．给出下列结论：‎ ‎①(sin x)′＝cos x；‎ ‎②′＝cos ；‎ ‎③若f(x)＝，则f′(3)＝－；‎ ‎④(log4x)′＝.‎ 其中正确的有__________个．‎ ‎3　[因为(sin x)′＝cos x，所以①正确；sin ＝，而′＝0，所以②错误；f′(x)＝′＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－，所以③正确；因为(log4x)′＝，所以④正确．]‎ ‎7．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝__________.‎ e－1　[f′(x)＝，则f′(1)＝＝－1，即ln a＝－1.‎ 所以a＝e－1.]‎ ‎8．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是__________，切线方程为__________．‎ 　x－ey＝0　[y′＝，则y′|x＝e＝，即切线的斜率为，切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.]‎ 三、解答题 ‎9．求抛物线y＝x2过点的切线方程．‎ 4‎ ‎[解]　设此切线过抛物线上的点(x0，x)．‎ 由导数的意义知此切线的斜率为2x0，‎ 又因为此切线过点和点(x0，x)，‎ 所以＝2x0.‎ 由此x0应满足x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或3.‎ 即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)或(3,9)．‎ 所以所求切线方程分别为 y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．‎ 化简得y＝4x－4，y＝6x－9.‎ ‎10．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.‎ ‎ 【导学号：97792137】‎ ‎[解]　不存在，理由如下：‎ 由于y1＝sin x，y2＝cos x，所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x.‎ 设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，‎ 所以两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝cos x0，k2＝－sin x0.‎ 若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，‎ 即sin x0·cos x0＝1，∴sin 2x0＝2，显然不成立，‎ 所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(　　)‎ A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0‎ C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0‎ C　[因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.]‎ ‎2．已知点P在曲线y＝2sin cos 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)‎ 4‎ A.　　　　　 B. C. D.∪ D　[∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x，设P(x0，y0)．由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tan α＝cos x0，∴－1≤tan α≤1.∵0≤α<π，∴α∈∪，故选D.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝，若f′(a)＝12，则实数a的值为__________．‎ 或－2　[f′(x)＝，若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－2.]‎ ‎4．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值为__________．‎ 　[设切点为(x0，y0)，∵y′＝(ln x)′＝，∴＝k，即x0＝，y0＝kx0＝1，∴1＝ln ，k＝.]‎ ‎5．若曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)(a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求loga的值. ‎ ‎【导学号：97792138】‎ ‎[解]　由题意，得f′(x)＝－2x－3，‎ 所以曲线f(x)在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－‎2a－3(x－a)，‎ 令x＝0，得y＝‎3a－2，令y＝0，得x＝.‎ 所以×‎3a－2×a＝3，解得a＝.‎ 4‎