高考数学专题复习教案： 抛物线的几何性质备考策略 3页

抛物线的几何性质备考策略 主标题：抛物线的几何性质备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.‎ 关键词：抛物线的几何性质，知识总结备考策略 难度：4‎ 重要程度：5‎ 内容：1．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．有以下结论(p>0)：‎ ‎(1)对于抛物线y2＝2px，|PF|＝＋x0；‎ ‎(2)对于抛物线y2＝－2px，|PF|＝－x0；‎ ‎(3)对于抛物线x2＝2py，|PF|＝＋y0；‎ ‎(4)对于抛物线x2＝－2py，|PF|＝－y0.‎ ‎2．与焦点弦有关的常用结论 ‎(以下图为依据)‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.‎ ‎(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．‎ ‎(3)＋为定值.‎ ‎(4)以AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．‎ 思维规律解题：‎ 考点一：已知抛物线方程应用 例1．(2014·安徽高考)抛物线y＝x2 的准线方程是(　　)‎ A．y＝－1　　　　　　　　　 B．y＝－2 ‎ ‎ C．x＝－1 D．x＝－2‎ 解析：选A　抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.‎ 应用一：到焦点与定点距离之和最小问题 例2．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．‎ 解：∵(－2)2<8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．‎ 如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.‎ 由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.‎ ‎∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝.‎ 故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为.‎ 应用二：到点与准线的距离之和最小问题 例3．(2015·忻州联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．‎ 答案：－1‎ 解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.‎ 答案：－1‎ 应用三：到定直线的距离最小问题 例4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．‎ 答案： 解析：法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－‎ ＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.‎ 法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.‎ 应用四：焦点弦中距离之和最小问题 例5．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．‎ 答案：2‎ 解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.‎ 备考策略：1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．‎ ‎2．求抛物线方程应注意的问题 ‎(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；‎ ‎(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；‎ ‎(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．‎