2020高中数学 第2章 推理与证明 第3节 数学归纳法学案 理 苏教版选修2-2 6页

第3节 数学归纳法 一、学习目标：‎ 了解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明与自然数有关的命题。‎ ‎ ‎ 二、重点、难点 能运用数学归纳法证明和自然数有关的命题。‎ 三、考点分析：‎ 数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视。数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视。只要与自然数有关，都可考虑使用数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些。‎ 一、数学归纳法的定义：‎ 由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：‎ ‎（1）先证明当n＝n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；‎ ‎（2）假设当n＝k（k∈N*， k≥n0）时命题成立，再证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法。‎ 二、数学归纳法的应用：‎ ‎（1）证恒等式；‎ ‎（2）整除性的证明；‎ ‎（3）探求平面几何中的问题；‎ ‎（4）探求数列的通项；‎ ‎（5）不等式的证明。‎ 特别提示 ‎（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;‎ ‎（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。‎ 例1 已知，则的值为（ ）‎ A. ＋ B. ＋＋‎ C. - D. ＋-‎ 思路分析：是从n＋1开始的n个连续自然数的倒数和，故是从n＋2开始的n＋1个连续自然数的倒数和，即 6‎ ‎＝‎ ‎＝＝＋＋-‎ ‎＝＋- 故选D。‎ 解题后反思：用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。‎ 例2 用数学归纳法证明等。‎ 思路分析：和自然数有关的命题的证明可以选用数学归纳法。‎ 证明：（1）当n＝1时，左边＝＝右边，等式成立 ‎ （2）假设当n＝k时等式成立，即 ‎ 则，‎ 当n＝k＋1时，等式也成立，‎ 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 解题后反思：（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。‎ 例3 在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列。‎ ‎（1）求a2,a3,a4，并推出an的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明所得的结论。‎ 思路分析：本题考查了数列、数学归纳法，可以依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤，采用的方法是归纳、猜想、证明。‎ 求通项可先证明{}是以为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式 ‎ 解题过程：∵an,Sn,Sn－成等比数列，‎ ‎∴Sn2＝an·（Sn－）（n≥2） （*）‎ ‎（1）由a1＝1,S2＝a1＋a2＝1＋a2,代入（*）式得a2＝－‎ 由a1＝1，a2＝－,S3＝＋a3代入（*）式得a3＝－‎ 6‎ 同理可得a4＝－,由此可推出an＝‎ ‎（2）①当n＝1,2,3,4时，由（*）知猜想成立 ‎②假设n＝k（k≥2）时，ak＝－成立 故Sk2＝－·（Sk－）‎ ‎∴（2k－3）（2k－1）Sk2＋2Sk－1＝0‎ ‎∴Sk＝（舍）‎ 由Sk＋12＝ak＋1·（Sk＋1－）,得（Sk＋ak＋1）2＝ak＋1（ak＋1＋Sk－）‎ 由①②知，an＝对一切n∈N*成立 ‎ 解题后反思：（2）中，Sk＝－应舍去，这一点往往容易被忽视。‎ 例4 是否存在常数a、b、c使等式1·（n2－12）＋2（n2－22）＋…＋n（n2－n2）＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立?证明你的结论。‎ 思路分析：先取n＝1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n∈N*，a、b、c所确定的等式都成立。‎ 解题过程：分别用n＝1，2，3代入解方程组 下面用数学归纳法证明。‎ ‎（1）当n＝1时，由上可知等式成立;‎ ‎（2）假设当n＝k时，等式成立，‎ 则当n＝k＋1时，‎ 左边＝1·［（k＋1）2－12］＋2［（k＋1）2－22］＋…＋k［（k＋1）2－k2］＋（k＋1）［（k＋1）2－（k＋1）2］‎ ‎＝1·（k2－12）＋2（k2－22）＋…＋k（k2－k2）＋1·（2k＋1）＋2（2k＋1）＋…＋k（2k＋1）‎ ‎＝k4＋（－）k2＋（2k＋1）＋2（2k＋1）＋…＋k（2k＋1）‎ 6‎ ‎＝（k＋1）4－（k＋1）2。‎ ‎∴当n＝k＋1时，等式成立。‎ 由（1）（2）得等式对一切的均成立。‎ 解题后反思：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力。‎ ‎（全国高考）已知数列中，。‎ ‎（1）设，求数列的通项公式；‎ ‎（2）求使不等式成立的的取值范围。‎ 思路分析：（1）将代入到中整理，并替换，得到关系式，进而可得到{}是首项为，公比为4的等比数列，先得到的通项公式，即可得到数列的通项公式。‎ ‎（2）先求出时的的取值范围，然后用数学归纳法分3步进行证明，当时，然后当时，令，由，可发现时不能满足条件，进而可确定的取值范围。‎ 解题过程：（1），‎ ‎，即。‎ ‎，又a1＝1,故，‎ 所以是首项为，公比为4的等比数列，‎ ‎。‎ ‎（2）,由a2>a1得c>2。‎ 用数学归纳法证明：当c>2时，an2时，an2时，令，由得an<。‎ 当2时，>3，且1≤an<,于是 ‎≤,‎ ‎≤。‎ 当n3。‎ 因此不符合要求。‎ 所以c的取值范围是。‎ 解题后反思：本题主要考查了数列的通项公式、递推数列、不等式等知识，在解题过程中渗透了函数与方程、归纳与转化思想，属于难题，考查学生分析、归纳、探究和推理论证问题的能力。‎ 用数学归纳法证明：‎ 错解：（1）当n＝1时，左＝右＝，等式成立 ‎（2）假设当n＝k时等式成立，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”。‎ 正解：‎ ‎（1）当n＝1时，左＝右＝，等式成立 ‎（2）假设当n＝k时等式成立，即 那么当n＝k＋1时，‎ ‎ ‎ 6‎ 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1（或n0）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。‎ 运用数学归纳法证明问题时，关键是对n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标、完成解题。‎ 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。‎ 用数学归纳法证明问题应注意：‎ ‎（1）第一步验证n＝n0时，n0并不一定是1。‎ ‎（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k到k＋1时命题的变化。‎ ‎（3）由假设n＝k时命题成立，证n＝k＋1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标。‎ 归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一。‎ ‎ 下节课我们开始学习——数系的扩充与复数的引入，请大家阅读课本思考：‎ ‎1. 为什么要进行数系的扩充？‎ ‎2. 数系扩充的原则是什么？‎ ‎3. 复数能满足哪些运算？‎ 6‎