高中数学人教a版必修四课时训练 第一章 三角函数 章末检测（a） word版含答案 8页

第一章 三角函数(A) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．sin 600°＋tan 240°的值是( ) A．－ 3 2 B. 3 2 C．－1 2 ＋ 3 D.1 2 ＋ 3 2．已知点 P sin3 4π，cos3 4π 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π 4 B.3π 4 C.5π 4 D.7π 4 3．已知 tan α＝3 4 ，α∈ π，3 2π ，则 cos α的值是( ) A．±4 5 B.4 5 C．－4 5 D.3 5 4．已知 sin(2π－α)＝4 5 ，α∈(3π 2 ，2π)，则sin α＋cos α sin α－cos α 等于( ) A.1 7 B．－1 7 C．－7 D．7 5．已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线 x＝π 8 对称，则φ可能取值是( ) A.π 2 B．－π 4 C.π 4 D.3π 4 6．若点 P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( ) A. π 2 ，3π 4 ∪ π，5π 4 B. π 4 ，π 2 ∪ π，5π 4 C. π 2 ，3π 4 ∪ 5π 4 ，3π 2 D. π 2 ，3π 4 ∪ 3π 4 ，π 7．已知 a 是实数，则函数 f(x)＝1＋asin ax 的图象不可能是( ) 8．为了得到函数 y＝sin 2x－π 6 的图象，可以将函数 y＝cos 2x 的图象( ) A．向右平移π 6 个单位长度 B．向右平移π 3 个单位长度 C．向左平移π 6 个单位长度 D．向左平移π 3 个单位长度 9．电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π 2)的图象如右图所 示，则当 t＝ 1 100 秒时，电流强度是( ) A．－5 A B．5A C．5 3 A D．10 A 10．已知函数 y＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线 y＝2 的某两个交点横坐标为 x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则( ) A．ω＝2，θ＝π 2 B．ω＝1 2 ，θ＝π 2 C．ω＝1 2 ，θ＝π 4 D．ω＝2，θ＝π 4 11．设ω>0，函数 y＝sin(ωx＋π 3)＋2 的图象向右平移4π 3 个单位后与原图象重合，则ω的最小 值是( ) A.2 3 B.4 3 C.3 2 D．3 12．如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π 3 ，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知一扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则扇形的周长为________． 14．方程 sin πx＝1 4x 的解的个数是________． 15．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则 f(7π 12)＝________. 16．已知函数 y＝sin πx 3 在区间[0，t]上至少取得 2 次最大值，则正整数 t 的最小值是________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)求函数 y＝3－4sin x－4cos2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的 x 的值． 18．(12 分)已知函数 y＝acos 2x＋π 3 ＋3，x∈ 0，π 2 的最大值为 4，求实数 a 的值． 19. (12 分)如右图所示，函数 y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ≤π 2)的图象与 y 轴交于点(0， 3)，且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值； (2)已知点 A(π 2 ，0)，点 P 是该函数图象上一点，点 Q(x0，y0)是 PA 的中点，当 y0＝ 3 2 ，x0∈[π 2 ， π]时，求 x0 的值． 20．(12 分)已知α是第三象限角，f(α)＝sinπ－α·cos2π－α·tan－α－π tan－α·sin－π－α . (1)化简 f(α)； (2)若 cos α－3 2π ＝1 5 ，求 f(α)的值； (3)若α＝－1 860°，求 f(α)的值． 21．(12 分)在已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 其中 A>0，ω>0，0<φ<π 2 的图象与 x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为π 2 ，且图象上一个最低点为 M 2π 3 ，－2 . (1)求 f(x)的解析式； (2)当 x∈ π 12 ，π 2 时，求 f(x)的值域． 22．(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0 且ω>0,0<φ<π 2)的部分图象，如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若方程 f(x)＝a 在 0，5π 3 上有两个不同的实根，试求 a 的取值范围． 第一章 三角函数(A) 答案 1．B 2.D 3.C 4．A [sin(2π－α)＝－sin α＝4 5 ，∴sin α＝－4 5.又α∈(3π 2 ，2π)，∴cos α＝3 5. ∴sin α＋cos α sin α－cos α ＝1 7 ，故选 A.] 5．C [检验 f π 8 ＝sin π 4 ＋φ 是否取到最值即可．] 6．B [sin α－cos α>0 且 tan α>0， ∴α∈ π 4 ，π 2 或α∈ π，5 4π .] 7．D [当 a＝0 时 f(x)＝1，C 符合， 当 0<|a|<1 时 T>2π，且最小值为正数，A 符合， 当|a|>1 时 T<2π，B 符合． 排除 A、B、C，故选 D.] 8．B [y＝sin 2x－π 6 ＝cos π 2 － 2x－π 6 ＝cos 2π 3 －2x ＝cos 2x－2 3π ＝cos2 x－π 3 .] 9．A [由图象知 A＝10，T 2 ＝ 4 300 － 1 300 ＝ 1 100 ， ∴T＝ 1 50 ，∴ω＝2π T ＝100π. ∴I＝10sin(100πt＋φ)． ( 1 300 ，10)为五点中的第二个点， ∴100π× 1 300 ＋φ＝π 2. ∴φ＝π 6.∴I＝10sin(100πt＋π 6)， 当 t＝ 1 100 秒时，I＝－5 A，故选 A.] 10．A [∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝π 2. ∵图象与直线 y＝2 的两个交点横坐标为 x1，x2， |x2－x1|min＝π，即 Tmin＝π， ∴2π ω ＝π，ω＝2，故选 A.] 11．C [由函数向右平移4 3π个单位后与原图象重合，得4 3π是此函数周期的整数倍．又ω>0， ∴2π ω ·k＝4 3π，∴ω＝3 2k(k∈Z)，∴ωmin＝3 2.] 12．A [∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π 3 ，0)中心对称，即 3cos(2×4π 3 ＋φ)＝0， ∴8π 3 ＋φ＝π 2 ＋kπ，k∈Z. ∴φ＝－13π 6 ＋kπ.∴当 k＝2 时，|φ|有最小值π 6.] 13．(6π＋40) cm 解析 ∵圆心角α＝54°＝3π 10 ，∴l＝|α|·r＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm. 14．7 解析 在同一坐标系中作出 y＝sin πx 与 y＝1 4x 的图象观察易知两函数图象有 7 个交点，所 以方程有 7 个解． 15．0 解析 方法一 由图可知，3 2T＝5π 4 －π 4 ＝π，即 T＝2π 3 ， ∴ω＝2π T ＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)， 将(π 4 ，0)代入上式 sin(3π 4 ＋φ)＝0. ∴3π 4 ＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－3π 4 . ∴f(7π 12)＝2sin(7π 4 ＋kπ－3π 4 )＝0. 方法二 由图可知，3 2T＝5π 4 －π 4 ＝π，即 T＝2π 3 . 又由正弦图象性质可知，若 f(x0)＝f(x0＋T 2)＝0，∴f(7π 12)＝f(π 4 ＋π 3)＝f(π 4)＝0. 16．8 解析 T＝6，则5T 4 ≤t， ∴t≥15 2 ，∴tmin＝8. 17．解 y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1 ＝4 sin x－1 2 2－2，令 t＝sin x，则－1≤t≤1， ∴y＝4 t－1 2 2－2 (－1≤t≤1)． ∴当 t＝1 2 ，即 x＝π 6 ＋2kπ或 x＝5π 6 ＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－2； 当 t＝－1，即 x＝3π 2 ＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7. 18．解 ∵x∈ 0，π 2 ，∴2x＋π 3 ∈ π 3 ，4π 3 ， ∴－1≤cos 2x＋π 3 ≤1 2. 当 a>0，cos 2x＋π 3 ＝1 2 时，y 取得最大值 1 2a＋3， ∴1 2a＋3＝4，∴a＝2. 当 a<0，cos 2x＋π 3 ＝－1 时，y 取得最大值－a＋3， ∴－a＋3＝4，∴a＝－1， 综上可知，实数 a 的值为 2 或－1. 19．解 (1)将 x＝0，y＝ 3代入函数 y＝2cos(ωx＋θ)中，得 cos θ＝ 3 2 ， 因为 0≤θ≤π 2 ，所以θ＝π 6. 由已知 T＝π，且ω>0，得ω＝2π T ＝2π π ＝2. (2)因为点 A(π 2 ，0)，Q(x0，y0)是 PA 的中点， y0＝ 3 2 ，所以点 P 的坐标为(2x0－π 2 ， 3)． 又因为点 P 在 y＝2cos(2x＋π 6)的图象上，且π 2 ≤x0≤π， 所以 cos(4x0－5π 6 )＝ 3 2 ，且7π 6 ≤4x0－5π 6 ≤19π 6 ， 从而得 4x0－5π 6 ＝11π 6 ，或 4x0－5π 6 ＝13π 6 ，即 x0＝2π 3 ，或 x0＝3π 4 . 20．解 (1)f(α)＝sin α·cos－α·[－tanπ＋α] －tan α[－sinπ＋α] ＝－sin α·cos α·tan α －tan α·sin α ＝cos α. (2)∵cos α－3 2π ＝cos 3 2π－α ＝－sin α， 又 cos α－3 2π ＝1 5 ，∴sin α＝－1 5. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－2 6 5 ， ∴f(α)＝－2 6 5 . (3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝1 2. 21．解 (1)由最低点为 M 2π 3 ，－2 得 A＝2. 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为π 2 ， 得T 2 ＝π 2 ，即 T＝π，∴ω＝2π T ＝2π π ＝2. 由点 M 2π 3 ，－2 在图象上得 2sin 2×2π 3 ＋φ ＝－2， 即 sin 4π 3 ＋φ ＝－1， 故4π 3 ＋φ＝2kπ－π 2(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－11π 6 (k∈Z)． 又φ∈ 0，π 2 ，∴φ＝π 6 ， 故 f(x)＝2sin 2x＋π 6 . (2)∵x∈ π 12 ，π 2 ，∴2x＋π 6 ∈ π 3 ，7π 6 ， 当 2x＋π 6 ＝π 2 ，即 x＝π 6 时，f(x)取得最大值 2； 当 2x＋π 6 ＝7π 6 ，即 x＝π 2 时，f(x)取得最小值－1， 故 f(x)的值域为[－1,2]． 22．解 (1)由图象易知函数 f(x)的周期为 T＝4× 7π 6 －2π 3 ＝2π，A＝1，所以ω＝1. 方法一 由图可知此函数的图象是由 y＝sin x 的图象向左平移π 3 个单位得到的，故φ＝π 3 ， 所以函数解析式为 f(x)＝sin x＋π 3 . 方法二 由图象知 f(x)过点 －π 3 ，0 ，则 sin －π 3 ＋φ ＝0，∴－π 3 ＋φ＝kπ，k∈Z. ∴φ＝kπ＋π 3 ，k∈Z， 又∵φ∈ 0，π 2 ，∴φ＝π 3 ， ∴f(x)＝sin x＋π 3 . (2)方程 f(x)＝a 在 0，5π 3 上有两个不同的实根等价于 y＝f(x)与 y＝a 的图象在 0，5π 3 上有两 个交点，在图中作 y＝a 的图象，如图为函数 f(x)＝sin x＋π 3 在 0，5π 3 上的图象，当 x＝0 时，f(x)＝ 3 2 ，当 x＝5π 3 时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈ 3 2 ，1 ∪(－1,0)．