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- 2021-06-11 发布
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2-1模块练习题 姓名:
一、非解答题
1 如果 222 kyx 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
2. 已知双曲线 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与双曲线的右支
有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是__________.
3.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一
个焦点.现有一水平放置的椭圆形台球盘,其长轴长为 2a,焦距为 2c,若点 A,B 是它的焦点,当静放在点
A 的小球(不计大小),从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后再回到点 A 时,小球经过的路程是
4.用一个与圆柱母线成 60 角的平面截圆柱,截口是一个椭圆,则此椭圆的离心率是
5.已知 1F 、 2F 是椭圆的两个焦点,满足 1 2 0MF MF 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
6.已知直线 L 交椭圆 11620
22
yx 于 M、N 两点,椭圆于 y 轴的正半轴交于点 B,若 BMN 的重心恰好
落在椭圆的右焦点上,则直线 L 的方程是
7.设椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
和 x 轴正方向交点为 A,和 y 轴正方向的交点为 B,P为第一象限内椭圆上的点,使
四边形 OAPB 面积最大(O为原点),那么四边形 OAPB 面积最大值为( )
A. 2ab B. 2
2 ab C. 1
2 ab D. 2ab
8 椭圆
2 2
18 9
x y
k
的离心率为 1
2
,则 k 的值为______________
9.已知 21 FF、 为椭圆 1925
22
yx 的两个焦点,过 1F 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 1222 BFAF ,
则 AB =___________。
10.椭圆 149
22
yx 的焦点 1F 、 2F ,点 P 为其上的动点,当∠ 1F P 2F 为钝角时,点 P 横坐标的取值范
围是
11.已知 ,m n 为空间中两条不同的直线, , 为空间中两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A. 若 , ,n n m ,则 / /m B. 若 ,m ,则 / /m
C. 若 ,m n 在 内的射影互相平行,则 / /m n D. 若 ,m l l I ,则 m
12.在四边形 ABCD 中, 2AB AD , 3BC , 5CD , AB AD ,现将 ABD 沿 BD 折起,得
三棱锥 A BCD ,若三棱锥 A BCD 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为( )
A. 11 2
4
B. 5 2
3
C. 7 2
3
D. 8 2
3
13.如图,平面 平面 , I =直线l , ,A C 是 内不同的两点, ,B D 是 内不同的两点,且 , , ,A B C D
直线l , ,M N 分别是线段
,AB CD 的中点.下列判断正确的是( )
A. 当 2CD AB 时, ,M N 两点不可能重合
B. ,M N 两点可能重合,但此时直线 AC 与l 不可能相交
C. 当 AB 与CD 相交,直线 AC 平行于l 时,直线 BD 可以与l 相交
D. 当 ,AB CD 是异面直线时,直线 MN 可能与l 平行
14. 如图所示,在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,底面是 ABC 为直角的等腰直角三角形, 2AC a ,
1 3 ,BB a D 是 1 1AC 的中点,点 F 在线段 1AA 上,当 AF ________时,CF 平面 1B DF .
15.已知正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 的棱长是1,则直线 1DA 与 AC 间的距离为 。
16.如图,在三棱锥 A BCD 中, 2, 2BC DC AB AD BD ,平面 ABD
平面 BCD ,O 为 BD 中点, ,P Q 分别为线段 ,AO BC 上的动点(不含端点),且
AP CQ ,则三棱锥 P QCO 体积的最大值为_________.
二、解答题
1.设椭圆
2 2
2 2 1, 0x y a ba b
的左右焦点分别为 1 2,F F ,离心率 2
2e ,点 2F 到右准线为l 的距离为
2 (Ⅰ)求 ,a b 的值;(Ⅱ)设 ,M N 是l 上的两个动点, 1 2 0F M F N ,
证明:当 MN 取最小值时, 1 2 2 2 0F F F M F N
第 14 题
第 16 题
2.如图、椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个焦点是 F(1,0),O 为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。若直线 l 绕点 F 任意
转动,都有 2 2 2OA OB AB ,求 a 的取值范围.
3.设椭圆中心在坐标原点, (2 0) (01)A B,, , 是它的两个顶点,直线 )0( kkxy 与 AB 相交于点 D,与椭
圆相交于 E、F 两点.
(Ⅰ)若 6ED DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.
4.如图所示的几何体 P ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形, 120ABC , AB a , 3PB a ,
PB AB ,平面 ABCD 平面 PAB , OBDAC , E 为 PD 的中点,G 为平面 PAB 内任一点.
(Ⅰ)在平面 PAB 内,过G 点是否存在直线l 使 / /OE l ?
如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法;
(Ⅱ)过 A ,C , E 三点的平面将几何体 P ABCD
截去三棱锥D AEC ,求剩余几何体 AECBP 的体积.
M
A
B
S
C
5.已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形, //AB DC ,
PADAB ,90 底面 ABCD,且 1
2PA AD DC ,
1AB , M 是 PB 的中点
(1)求 AC 与 PB 所成角的余弦值;
(2)求面 AMC 与面 BMC 所成夹角的余弦值.
6.如图,在三棱锥 ABCS 中, ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC 平面 ABC , 22 SCSA ,
M 为 AB 的中点.
(1)证明: SBAC ;om]
(2)求二面角 ACMS 的余弦值;
(3)求点 B 到平面 SCM 的距离.
x
y
O1F
P
2F
A
B
x
y
O
P
参考答案
一、选择题
1. 1,0 焦点在 y 轴上,则
2 2 21, 2 0 12 2
y x kk
k
2.[2,+∞) 【解析】当渐近线 与直线 l 平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线 l 与
双曲线的右支有且只有一个交点,所以 ,即 ,所以 .
3. 4a
4. 1e 2
c
a
解:设圆柱底面半径为 R,则 0
2
sin 60 3
R Ra ,b R ,
∴ 2 2 2 22( )
3 3
R Rc a b R ,∴ 1e 2
c
a
。
5. 1(0, )2e 解:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
2 2 2 2 2 1
2c b c b a c e 又 (0,1)e ,
所以 1(0, )2e 。
6. 6 5 28 0x y 解:设 M、N 的坐标分别为 1 1( , )M x y 、 2 2( , )N x y ,点 B 坐标为 (0,4)B ,椭圆右焦
点为 (2,0)F , ∵ BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,
∴
1 2
1 2
1 21 2
0 2 63
44 03
x x
x x
y yy y
,∴MN 的中点坐标为 (3, 2) , 又点 1 1( , )M x y 、 2 2( , )N x y 在椭圆
11620
22
yx 上, ∴
2 2
1 1 120 16
x y ,
2 2
2 2 120 16
x y ,两式相减得:
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( )020 16 20 16
x x y y x x x x y y y y
∴直线 MN 的斜率 1 2 1 2
1 2 1 2
16( ) 16 6 6
20( ) 20 ( 4) 5
y y x xk x x y y
∴直线 MN 的方程为 62 ( 3)5y x ,
即 6 5 28 0x y 。
7.B 解: OAB 的面积为 1
2 ab ,四边形 OAPB 的面积大于
OAB 的面积而小于 OAB 的面积的 2 倍,故选 B。
8. 54, 4
或 解:当 8 9k 时,
2
2
2
8 9 1 , 48 4
c ke ka k
;
当 8 9k 时,
2
2
2
9 8 1 5,9 4 4
c ke ka
9.8 解:依题直线 AB 过椭圆的左焦点 1F ,在 2F AB 中,
2 2| | | | | | 4 20F A F B AB a ,又 2 2| | | | 12F A F B ,∴| | 8.AB
10. 3 5 3 5( , )5 5
可以证明 1 2, ,PF a ex PF a ex 且 2 2 2
1 2 1 2PF PF F F
而 53, 2, 5, 3a b c e ,则 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) (2 ) ,2 2 20, 1a ex a ex c a e x e x
2
2
1 1 1, ,x xe e e
即 3 5 3 5
5 5e
11.A 12.D 13B
14. a 或 2a ;
15. 3
3 1 1(0,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (0, 1,1)A C D A AC DA
设 1( , , ), , , 0, 0,MN x y z MN AC MN DA x y y z y t 令
则 ( , , )MN t t t ,而另可设 ( , ,0), (0, , ), ( , , )M m m N a b MN m a m b
1, (0,2 , ),2 1, 3
m t
a m t N t t t t t
b t
, 1 1 1 1 1 1 3( , , ),3 3 3 9 9 9 3MN MN
;
16. 2
48
二、解答题
1.解:因为 ae c
, 2F 到l 的距离 ad cc
,所以由题设得
2
2
2
a
c
a cc
解得 2, 2c a 由 2 2 2 2b a c ,得 2b
(Ⅱ)由 2, 2c a 得 1 22,0 , 2,0F F ,l 的方程为 2 2x
故可设 1 22 2, , 2 2,M y N y
由知 1 2 0F M F N 知 1 22 2 2, 2 2 2, 0y y
得 1 2 6y y ,所以 1 2 2
1
60,y y y y
1 2 1 1
1 1
6 1 2 6MN y y y yy y
当且仅当 1 6y 时,上式取等号,此时 2 1y y
所以, 1 2 2 2 1 22 2,0 2, 2,F F F M F N y y 1 20, y y 0
2.解:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点,因为△MNF 为正三角形,
所以 3
2OF MN , 3 21 , 3.2 3
b b 解得 =
2 2 1 4a b ,因此,椭圆方程为
2 2
1.4 3
x y
(Ⅱ) 设 1 1 2 2( , ), ( , ).A x y B x y
(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,
2 2 2 2 2 22 2 22 , 4 ( 1), .OA OB a AB a a OA OB AB 因此,恒有
(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时,设直线 AB 的方程为:
2 2
2 21 1,x yx my a b
代入
整理得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0,a b m y b my b a b
所以
2 2 2 2
1 2 1 22 2 2 2 2 2
2 ,b m b a by y y ya b m a b m
因为恒有 2 2 2OA OB AB ,所以 AOB 恒为钝角.
即 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0OA OB x y x y x x y y
恒成立.
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1) ( ) 1x x y y my my y y m y y m y y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 1)( ) 2 1 0.m b a b b m m a b b a b a
a b m a b m a b m
又 2 2 2 0a b m ,所以 2 2 2 2 2 2 2 0m a b b a b a 对 m R 恒成立,
即 2 2 2 2 2 2 2m a b a b a b 对 m R 恒成立,当 m R 时, 2 2 2m a b 最小值为 0,
所以 2 2 2 2 0a b a b , 2 2 2 4( 1)a b a b ,
2 20, 0, 1a b a b a ∵ ∴ ,即 2 1 0a a ,
解得 1 5
2a 或 1 5
2a (舍去),即 1 5
2a ,
综合(i)(ii),a 的取值范围为 1 5( , )2
.
3.解(Ⅰ):依题设得椭圆的方程为
2
2 14
x y ,
直线 AB EF, 的方程分别为 2 2x y , ( 0)y kx k .
如图,设 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( )D x kx E x kx F x kx, , , , , ,其中 1 2x x ,
且 1 2x x, 满足方程 2 2(1 4 ) 4k x ,
故 2 1 2
2
1 4
x x
k
. ①
由 6ED DF 知 0 1 2 06( )x x x x ,得 0 2 1 2 2
1 5 10(6 )7 7 7 1 4
x x x x
k
;
由 D 在 AB 上知 0 02 2x kx ,得 0
2
1 2x k
.
所以
2
2 10
1 2 7 1 4k k
,化简得 224 25 6 0k k ,解得 2
3k 或 3
8k .
( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E F, 到 AB 的 距 离 分 别 为
2
1 1
1 2
2 2 2(1 2 1 4 )
5 5(1 4 )
x kx k kh
k
,
2
2 2
2 2
2 2 2(1 2 1 4 )
5 5(1 4 )
x kx k kh
k
.
又 22 1 5AB ,所以四边形 AEBF 的面积为
D
FB
y
xAO
E
1 2
1 ( )2S AB h h
2
1 4(1 2 )52 5(1 4 )
k
k
2
2(1 2 )
1 4
k
k
2
2
1 4 42 1 4
k k
k
2 2≤ ,
当 2 1k ,即当 1
2k 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .
解法二:由题设, 1BO , 2AO .
设 1 1y kx , 2 2y kx ,由①得 2 0x , 2 1 0y y ,
故四边形 AEBF 的面积为
BEF AEFS S S △ △ 2 22x y 2
2 2( 2 )x y 2 2
2 2 2 24 4x y x y
2 2
2 22( 4 )x y≤ 2 2 ,
当 2 22x y 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .
4.【解析】(Ⅰ)过G 点存在直线l 使OE l ,理由如下:
由题可知O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,所以在 PBD 中,有 / /OE PB .
若点G 在直线 PB 上,则直线 PB 即为所求作直线l ,所以有 / /OE l ;
若点G 不在直线 PB 上,在平面 PAB 内,过点G 作直线l ,使 / /l PB ,
又 / /OE PB ,所以 / /OE l ,即过G 点存在直线l 使 / /OE l .
(Ⅱ)连接 EA ,EC ,则平面 ACE 将几何体分成两部分:三棱锥 D AEC 与几何体 AECBP(如
图所示).
因为平面 ABCD 平面 PAB ,且交线为 AB ,
又 PB AB ,所以 PB 平面 ABCD ,故 PB 为几何体 P ABCD 的高.
又四边形 ABCD 为菱形, 120ABC , AB a , 3PB a ,
所以 2ABCDS 四边形
2 23 3
4 2a a ,
所以 1
3P ABCD ABCDV S PB 四边形
2 31 3 133 2 2a a a .
又 1
2/ /OE PB ,所以OE 平面 ACD ,
所以 D AEC E ACDV V 三棱锥 三棱锥
1
3 ACDS EO 31 1
4 8P ABCDV a ,
所以几何体 AECBP 的体积 P ABCD D EACV V V 三棱锥
3 3 31 1 3
2 8 8a a a .
5.
21.证明:以 为坐标原点 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
.
(1)因
z
y
x
O
M
A
B
S
C
(2)平面 的一个法向量设为 ,
平面 的一个法向量设为 ,
所求二面角的余弦值为
6.解析:(1)证明:取 AC 的中点O ,连接 OBOS,
因为 SCSA , BCBA ,所以 SOAC 且 BOAC .
因为平面 SAC 平面 ABC ,平面 SAC 平面 ACABC ,所以 SO 平面 ABC
所以 BOSO .
如右图所示,建立空间直角坐标系 xyxO
则 )0,32,0(),2,0,0(),0,0,2(),0,0,2( BSCA
所以 )2,32,0(),0,0,4( BSAC
因为 0)2,32,0()0,0,4( BSAC
所以 SBAC
(2)由(1)得 )0,3,1(M ,所以 )2,0,2(),0,3,3( CSCM
设 ),,( zyxn 为平面 SCM 的一个法向量,则
022
033
zxCSn
yxCMn ,取 1z ,则 3,1 yx 所以 )1,3,1(n
又因为 )2,0,0(OS 为平面 ABC 的一个法向量,所以
5
5,cos
OSn
OSnOSn
所以二面角 ACMS 的余弦值为
5
5 .
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