高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.6 微 积分基本定理 10页

【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微 积分基本定理课时作业 新人教版选修 2-2 明目标、知重点 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分． 1．微积分基本定理 如果 f(x)是区间 a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么ʃb af(x)dx＝F(b)－F(a)． 2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则ʃb af(x)dx＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则ʃb af(x)dx＝－S 下． (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb af(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下，则ʃb af(x)dx＝0. 情境导学] 从前面的学习中可以发现，虽然被积函数 f(x)＝x3 非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ1 0x3dx 的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重 要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系 求定积分呢？ 探究点一 微积分基本定理 问题 你能用定义计算ʃ2 1 1 x dx 吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？ 思考 1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y＝y(t)，并且 y(t)有连续的导数， 由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段 a，b]内的 位移为 s，你能分别用 y(t)，v(t)表示 s 吗？ 答 由物体的运动规律是 y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)， 通过求定积分的几何意义，可得 s＝ʃb av(t)dt＝ʃb ay′(t)dt， 所以ʃb av(t)dt＝ʃb ay′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中 v(t)＝y′(t)． 小结 (1)一般地，如果 f(x)是区间 a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么ʃb af(x)dx ＝F(b)－F(a)． 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． (2)运用微积分基本定理求定积分ʃb af(x)dx 很方便，其关键是准确写出满足 F′(x)＝f(x)的 F(x)． 思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使 F′(x)＝f(x)？若不唯一，会 影响微积分基本定理的唯一性吗？ 答 不唯一，根据导数的性质，若 F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′ ＝f(x)． 不影响，因为 ʃb af(x)dx＝F(b)＋c]－F(a)＋c]＝F(b)－F(a) 例 1 计算下列定积分： (1)ʃ2 1 1 x dx；(2)ʃ3 1(2x－1 x2)dx；(3)ʃ0 －π(cos x－ex)dx. 解 (1)因为(ln x)′＝1 x ， 所以ʃ2 1 1 x dx＝ln x|2 1＝ln 2－ln 1＝ln 2. (2)因为(x2)′＝2x，(1 x )′＝－1 x2， 所以ʃ3 1(2x－1 x2)dx＝ʃ3 12xdx－ʃ3 1 1 x2dx ＝x2|3 1＋1 x |3 1 ＝(9－1)＋(1 3 －1)＝22 3 . (3)ʃ0 －π(cos x－ex)dx＝ʃ0 －πcos xdx－ʃ0 －πexdx ＝sin x|0 －π－ex|0 －π＝ 1 eπ－1. 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求 时，可将被积函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪训练 1 若 S1＝ʃ2 1x2dx，S2＝ʃ2 1 1 x dx，S3＝ʃ2 1exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为( ) A．S17 3 . 所以 S20， 求ʃ1 －1f(x)dx. 解 ʃ1 －1f(x)dx＝ʃ0 －1x2dx＋ʃ1 0(cos x－1)dx ＝1 3 x3|0 －1＋(sin x－x)|1 0＝sin 1－2 3 . 探究点三 定积分的应用 例 3 计算下列定积分： ʃπ 0 sin xdx，ʃ2π π sin xdx，ʃ2π 0 sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表 示所发现的结论． 解 因为(－cos x)′＝sin x， 所以ʃπ 0 sin xdx＝(－cos x)|π 0 ＝(－cos π)－(－cos 0)＝2； ʃ2π π sin xdx＝(－cos x)|2π π ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π 0 sin xdx＝(－cos x)|2π 0 ＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0. 反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0： 定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于 x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的 积分；(2)位于 x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就 是位于 x 轴上方曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积． 跟踪训练 3 求曲线 y＝sin x 与直线 x＝－π 2 ，x＝5 4 π，y＝0 所围图形的面积(如图所示)． 解 所求面积为 S＝ 5 π4 π 2  －π 2 |sin x|dx ＝－ 0 π 2  sin xdx＋ʃπ 0 sin xdx－ 5 π4 π sin xdx ＝1＋2＋(1－ 2 2 )＝4－ 2 2 . 1． π 2 π 2  (1＋cos x)dx 等于( ) A．π B．2 C．π－2 D．π＋2 答案 D 解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∴ π 2 π 2  (1＋cos x)dx＝(x＋sin x)| π 2 π 2  ＝π 2 ＋sinπ 2 － －π 2 ＋sin －π 2 ＝π＋2. 2．若ʃa 1(2x＋1 x )dx＝3＋ln 2，则 a 的值是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案 D 解析 ʃa 1(2x＋1 x )dx＝ʃa 12xdx＋ʃa 1 1 x dx ＝x2|a 1＋ln x|a 1＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2， 解得 a＝2. 3．ʃ2 0(x2－2 3 x)dx＝________. 答案 4 3 解析 ʃ2 0(x2－2 3 x)dx＝ʃ2 0x2dx－ʃ2 0 2 3 xdx ＝x3 3 |2 0－x2 3 |2 0＝8 3 －4 3 ＝4 3 . 4．已知 f(x)＝ 4x－2π，0≤x≤π 2 ， cos x，π 2 0 x＋ a 03t2dt，x≤0 ， 若 ff(1)]＝1，则 a＝________. 答案 1 解析 因为 x＝1>0，所以 f(1)＝lg 1＝0.又 x≤0 时，f(x)＝x＋ʃa 03t2dt＝x＋t3|a 0＝x＋a3， 所以 f(0)＝a3. 因为 ff(1)]＝1，所以 a3＝1， 解得 a＝1. 9．设 f(x)是一次函数，且ʃ1 0f(x)dx＝5，ʃ1 0xf(x)dx＝17 6 ，则 f(x)的解析式为________． 答案 f(x)＝4x＋3 解析 ∵f(x)是一次函数，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 ʃ1 0f(x)dx＝ʃ1 0(ax＋b)dx＝ʃ1 0axdx＋ʃ1 0bdx＝1 2 a＋b＝5，ʃ1 0xf(x)dx＝ʃ1 0x(ax＋b)dx＝ʃ1 0(ax2)dx＋ʃ1 0bxdx ＝1 3 a＋1 2 b＝17 6 . 由 1 2 a＋b＝5， 1 3 a＋1 2 b＝17 6 ， 得 a＝4， b＝3. 10．计算下列定积分： (1)ʃ2 1(ex＋1 x )dx；(2)ʃ9 1 x(1＋ x)dx； (3)ʃ20 0 (－0.05e－0.05x＋1)dx； (4)ʃ2 1 1 xx＋1 dx. 解 (1)∵(ex＋ln x)′＝ex＋1 x ， ∴ʃ2 1(ex＋1 x )dx＝(ex＋ln x)|2 1＝e2＋ln 2－e. (2)∵ x(1＋ x)＝x＋ x，(1 2 x2＋2 3 3 2x )′＝x＋ x， ∴ʃ9 1 x(1＋ x)dx＝(1 2 x2＋2 3 3 2x )|9 1＝172 3 . (3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1， ∴ʃ20 0 (－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|20 0 ＝1－e. (4)∵ 1 xx＋1 ＝1 x － 1 x＋1 ， (ln x)′＝1 x ，(ln(x＋1))′＝ 1 x＋1 ， ∴ʃ2 1 1 xx＋1 dx＝ln x|2 1－ln(x＋1)|2 1＝2ln 2－ln 3. 11．若函数 f(x)＝ x3，x∈[0，1]， x，x∈1，2]， 2x，x∈2，3]. 求ʃ3 0f(x)dx 的值． 解 由定积分的性质，知： ʃ3 0f(x)dx＝ʃ1 0f(x)dx＋ʃ2 1f(x)dx＋ʃ3 2f(x)dx ＝ʃ1 0x3dx＋ʃ2 1 xdx＋ʃ3 22xdx ＝x4 4 |1 0＋2 3 x3 2 |2 1＋ 2x ln 2 |3 2 ＝1 4 ＋4 3 2－2 3 ＋ 8 ln 2 － 4 ln 2 ＝－ 5 12 ＋4 3 2＋ 4 ln 2 . 12．已知 f(a)＝ʃ1 0(2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值． 解 ∵(2 3 ax3－1 2 a2x2)′＝2ax2－a2x， ∴ʃ1 0(2ax2－a2x)dx＝(2 3 ax3－1 2 a2x2)|1 0 ＝2 3 a－1 2 a2， 即 f(a)＝2 3 a－1 2 a2＝－1 2 (a2－4 3 a＋4 9 )＋2 9 ＝－1 2 (a－2 3 )2＋2 9 ， ∴当 a＝2 3 时，f(a)有最大值2 9 . 三、探究与拓展 13．求定积分ʃ3 －4|x＋a|dx. 解 (1)当－a≤－4 即 a≥4 时， 原式＝ʃ3 －4(x＋a)dx＝(x2 2 ＋ax)|3 －4＝7a－7 2 . (2)当－4<－a<3 即－3