2019年高考数学总复习检测第38讲　数列求和 3页

第38讲　数列求和 ‎1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于(C)‎ A．729 B．387‎ C．604 D．854‎ ‎ a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S5＝93－53＝604.‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的正整数n(A)‎ A．有最小值63 B．有最大值63‎ C．有最小值31 D．有最大值31‎ ‎ Sn＝log2(···…·)＝log2 ‎<－5，‎ 所以<2－5，所以n＋2>26，n>62，所以n≥63.‎ ‎3．(2017·湖南湘潭三模)已知Tn为数列{}的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为(C)‎ A．1026 B．1025‎ C．1024 D．1023‎ ‎ 因为＝1＋()n，‎ 所以Tn＝n＋＋＋…＋＝n＋1－.‎ 所以T10＋1013＝11－＋1013＝1024－.‎ 又m>T10＋1023恒成立，所以整数m的最小值为1024.‎ ‎4．(2017·广州市二测)数列{an}满足a2＝2，an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则S100＝(B)‎ A．5100 B．2550‎ C．2500 D．2450‎ ‎ 当n为奇数时，an＋2＋an＝0，‎ 即a3＋a1＝a5＋a3＝…＝a99＋a97＝0.‎ 当n为偶数时，an＋2－an＝2.‎ 即a4－a2＝a6－a4＝…＝a100－a98＝2.‎ 所以S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100‎ ‎＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)‎ ‎＝a2＋a4＋a6＋…＋a100‎ ‎＝2＋4＋6＋…＋a100‎ ‎＝2×50＋×2＝2550.‎ ‎5．数列{an}的通项公式是an＝，若Sn＝10，则n＝　120　.‎ ‎ 　　 an＝＝－，‎ 所以Sn＝－1＝10，所以n＝120.‎ ‎6. (2016·广州市综合测试(二))设数列{an}的前n项和为Sn, 若a2＝12, Sn＝kn2－1(n∈N*), 则数列{}的前n项和为　　.‎ ‎ 由题意知，a2＝S2－S1＝4k－1－(k－1)＝3k＝12，‎ 所以k＝4.‎ 所以Sn＝4n2－1，则＝＝(－)，‎ 则数列{}的前n项和为 ＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.‎ ‎7．Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎ (1)由a＋2an＝4Sn＋3，‎ 可得a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.‎ 可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，‎ 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，‎ 由于an>0，可得an＋1－an＝2.‎ 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.‎ 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列．‎ 所以所求通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由an＝2n＋1可知，‎ bn＝＝＝(－)，‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝.‎ ‎8．设f(x)＝，则f()＋f()＋…＋f()的值为(B)‎ A．999 B. C．1000 D. ‎ 因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝，‎ 所以f(x)＋f(1－x)＝1.‎ 设S＝f()＋f()＋…＋f()，‎ S＝f()＋f()＋…＋f()，‎ 上述两式相加得2S＝1×1999＝1999，所以S＝.‎ ‎9．(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}的前10项和为　　.‎ ‎ 由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得 an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.‎ 又因为a1＝1，所以an＝(n≥2)．‎ 因为当n＝1时也满足此式，所以an＝(n∈N*)．‎ 所以＝＝2(－)．‎ 所以S10＝2(－＋－＋…＋－)‎ ‎＝2(1－)＝.‎ ‎10．(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎ (1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．所以an＝6n＋5.‎ 设数列{bn}的公差为d.‎ 由即解得 所以bn＝3n＋1.‎ ‎(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.‎ 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，‎ 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，‎ ‎2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，‎ 两式作差，得 ‎－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2 n＋1－(n＋1)×2n＋2]‎ ‎＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2]‎ ‎＝－3n·2n＋2，‎ 所以Tn＝3n·2n＋2.‎