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- 2021-06-11 发布
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课时提升作业(十七)
抛物线方程及性质的应用
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.过抛物线 y2=4x 的焦点,作一条直线与抛物线交于 A,B 两点,它们的横坐标之和等于 5,
则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条
C.有无穷多条 D.不存在
【解析】选 B.由定义|AB|=5+2=7,
因为|AB|min=4,所以这样的直线有两条.
【补偿训练】过点 M(3,2)作直线 l 与抛物线 y2=8x 只有一个交点,这样的直线共有 ( )
A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条
【解析】选 B.因为点 M(3,2)在抛物线 y2=8x 的内部,所以过点 M 平行 x 轴的直线 y=2 适合
题意,因此只有一条.
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:
y2=8x 的焦点重合,点 A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 = ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得 解
得 a=4,由 b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆 E 的方程为 + =1,因为抛物线 C:y2=8x 的准线
为 x=-2,将 x=-2 代入到 + =1,解得 A(-2,3),
B(-2,-3),故 =6.
3.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,
则 k= ( )
A. B. C. D.
【解析】选 D.设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由
消去 y 得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0,
所以 x1+x2= ,x1x2=4.
由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,
又因为|AF|=2|BF|,所以 x1+2=2x2+4,
所以 x1=2x2+2 代入 x1x2=4,得 +x2-2=0,
所以 x2=1 或-2(舍去),所以 x1=4,
所以 =5,所以 k2= ,
因为 k>0,所以 k= .
4.(2015·商丘高二检测)已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 x 轴
的最短距离为 ( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选 D.由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过 A 作 AA1⊥l 于 A1,过 B 作 BB1⊥l 于 B1,
设弦 AB 的中点为 M,过 M 作 MM1⊥l 于 M1,则|MM1|= .|AB|≤|AF|+|BF|(F 为抛
物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,
2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故 M 到 x 轴的距离 d≥2.
【拓展延伸】“两看两想”的应用
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看
到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该
抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A. B.3 C. D.
【解析】选 A.抛物线 y2=2x 的焦点为 F ,准线是 l,由抛物线的定义知点 P 到焦点 F
的距离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距
离之和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,
不 难得 出相 应的 最小 值就 等于 焦点 F 到 点(0 ,2)的 距离 . 因 此所 求的 最小 值等 于
= .
5.(2015·青岛高二检测)在平面直角坐标系内,点 P 到点 A(1,0),B(a,4)及到直线 x=-1
的距离都相等,如果这样的点 P 恰好只有一个,那么 a= ( )
A.1 B.2
C.2 或-2 D.1 或-1
【解题指南】满足条件的点 P 恰好只有一个,可以从点 P 满足的方程有唯一解入手.
【解析】选 D.依题意得,一方面,点 P 应位于以点 A(1,0)为焦点、直线 x=-1 为准线的抛
物线 y2=4x 上;另一方面,点 P 应位于线段 AB 的中垂线 y-2=- (x- )上.
由于要使这样的点 P 是唯一的,
因此要求方程组 有唯一的实数解.
结合选项进行检验即可.当 a=1 时,抛物线 y2=4x 与线段 AB 的中垂线有唯一的公共点,适合
题意;当 a=-1 时,线段 AB 的中垂线方程是 y= x+2,易知方程组 有唯一
实数解.
综上所述,a=1 或 a=-1.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.已知点 F 为抛物线 y2=-8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,A 在抛物线上,
且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是________.
【解析】由|AF|=4 及抛物线定义得 A 到准线的距离为 4.
所以 A 点横坐标为-2,
所以 A(-2,4)或 A(-2,-4).
又原点关于准线的对称点的坐标为 B(4,0),
所以|PA|+|PO|的最小值为|AB|=
=2 .
答案:2
7.(2015·延安高二检测)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线
分别交于 A,B 两点,则 的值是________.
【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2,易知直线 AB 的方程为 y= x- p,代入抛物
线方程 y2=2px,可得 3x2-5px+ p2=0,所以 x1+x2= p,x1x2= ,可得 x1= p,x2= ,可得
= = =3.
答案:3
8.(2015·黄石高二检测)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物
线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________.
【解析】容易求得抛物线方程为 y2=4x.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =4x1, =4x2,两式
相减得 - =4(x2-x1).整理得 = ,由于 kAB= ,而 AB 中点为(2,2),
所以 y2+y1=4,于是 kAB= =1,因此直线方程为 y-2=x-2,即 y=x.
答案:y=x
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB 的面积等于 时,求 k 的值.
【解析】(1)如图所示,由
消去 x 得,ky2+y-k=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1·y2=-1,y1+y2=- .
因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上,
所以 =-x1, =-x2,所以 · =x1x2.
因为 kOA·kOB= · = = =-1,
所以 OA⊥OB.
(2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k≠0.
令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0).
因为 = +
= |ON||y1|+ |ON||y2|= |ON|·|y1-y2|,
所以 = ·1·
= .
因为 = ,
所以 = ,解得 k=± .
10.(2015·大连高二检测)如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,
2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.
(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.
【解题指南】(1)利用点 P(1,2)在抛物线上可求方程.
(2)倾斜角互补意味着斜率互为相反数,然后利用点差法求解.
【解析】(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0).
因为点 P(1,2)在抛物线上,所以 22=2p×1,解得 p=2.
故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1.
(2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,
则 kPA= (x1≠1),kPB= (x2≠1),
因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,所以 kPA=-kPB.
由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
所以 =- ,
所以
=- ,
所以 y1+2=-(y2+2).
所以 y1+y2=-4.
由①-②得, - =4(x1-x2),
所以 kAB= = =-1(x1≠x2).
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2015·银川高二检测)已知抛物线 y2=2px(p>0),过点 E(m,0)(m≠0)的直线交抛物线于
点 M,N,交 y 轴于点 P,若 =λ , =μ ,则λ+μ= ( )
A.1 B.- C.-1 D.-2
【解析】选 C.由题意设过点 E 的直线方程为 y=k(x-m).代入抛物线方程,整理可得
k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),
则 x1+x2= ,x1x2=m2.
由 可得
则λ+μ= + =
= = =-1.
【补偿训练】设双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的
离心率等于 ( )
A. B.2 C. D.
【解析】选 C.双曲线的渐近线方程为 y=± x.
因为渐近线与 y=x2+1 相切,
所以 x2+ x+1=0 有两相等根,
所以Δ= -4=0,所以 b2=4a2,
所以 e= = = = .
2.(2014·四川高考)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,
· =2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 ( )
A.2 B.3 C. D.
【解析】选 B.可设直线 AB 的方程为:x=ty+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 AB 与 x 轴
的交点 M(m,0),由 ⇒y2-ty-m=0,所以 y1y2=-m,又 · =2⇒x1x2+y1y2=2
⇒(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,所以 y1y2=-2,故 m=2,
又 F ,于是 S△ABO+S△AFO= ×2×|y1-y2|+ × ×|y1|=|y1+ |+ |y1|= |y1|+ ≥
2 =3,当且仅当 |y1|= ,即|y1|= 时取“=”,
所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 3.
【补偿训练】(2015·龙岩模拟)已知 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,Q 是圆(x-3)2+(y-1)2=1
上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为
( )
A.3 B.4 C.5 D. +1
【解析】选 A.N 恰好为抛物线的焦点,|PN|等于 P 到准线的距离,要想|PQ|+|PN|最小,过
圆心(3,1)作抛物线 y2=4x 的准线 x=-1 的垂线交抛物线于点 P,交圆于 Q,最小值等于圆心
(3,1)到准线 x=-1 的距离减去半径,即 4-1=3.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2015·南通高二检测)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交
点为 A,直线 l 与抛物线的准线的交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若 = ,
· =36,则抛物线的方程为________.
【解题指南】利用向量的数量积构造关于常数 p 的方程求解.
【解析】由 = 知 F 为 AB 的中点,设准线与 x 轴的交点为 D,则|DF|= |AC|=p,所以
|AC|=2p=|AF|=|FB|,|AB|=4p,所以∠ABC=30°,|BC|=2 p, · =|BA||BC|·cos
30°=4p×2 p× =36,解得 p= ,所以 y2=2 x.
答案:y2=2 x
4.已知抛物线 y2=2x,点 A 的坐标为 ,P 为抛物线上的点,当|PA|最小时,P 的坐标为
________;当 P 到直线 x-y+3=0 的距离最短时,最短距离是__.
【解析】(1)设 P(x,y),则|PA|2= +y2
= +2x= + .
因为x≥0且在此区间上函数单调递增,故当x=0时,|PA|有最小值 ,离A点最近的点P(0,0).
(2)设点 P(x0,y0)是抛物线 y2=2x 上任一点,则 P 到直线 x-y+3=0 的距离为
d= =
= ,
所以当 y0=1,d 有最小值 .
答案:(0,0)
【误区警示】本题易忽略抛物线的范围而出错.
【补偿训练】设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C
的半径能取到的最大值为________.
【解析】依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆心位
于 x 轴上且与 x=3 相切时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(00)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,
与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|.
(1)求 C 的方程.
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N
四点在同一圆上,求 l 的方程.
【解题指南】(1)设点 Q 的坐标为(x0,4),把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程,求得 x0= ,根据
|QF|= |PQ|求得 p 的值,可得 C 的方程.
(2)设 l 的方程为 x=my+1(m≠0),代入抛物线方程化简,利用根与系数的关系、中点公式、弦
长公式求得弦长|AB|,把直线 l′的方程线代入抛物线方程化简,利用根与系数的关系、弦长
公式求得|MN|,由于 MN 垂直平分线段 AB,故 A,M,B,N 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|,求得
m 的值,可得直线 l 的方程.
【解析】(1)设点 Q 的坐标为(x0,4),把点 Q 的坐标代入抛物线 C:y2=2px(p>0),
可得 x0= ,因为点 P(0,4),所以|PQ|= .
又|QF|=x0+ = + ,|QF|= |PQ|,
所以 + = × ,求得 p=2,或 p=-2(舍去).
故 C 的方程为 y2=4x.
(2)由题意可得,直线 l 和坐标轴不垂直,设 l 的方程为 x=my+1(m≠0),
代入抛物线方程可得 y2-4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),显然判别式
Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1·y2=-4,
所以 AB 的中点坐标为 D(2m2+1,2m),弦长|AB|= ·|y1-y2|=4(m2+1).
又直线 l′的斜率为-m,
所以直线 l′的方程为 x=- y+2m2+3.
把直线 l′的方程代入抛物线方程可得 y2+ y-4(2m2+3)=0,
设 M(x3,y3),N(x4,y4),
所以 y3+y4= ,y3·y4=-4(2m2+3).
故线段 MN 的中点 E 的坐标为( +2m2+3, ),
所以|MN|= |y3-y4|
= ,
因为 MN 垂直平分线段 AB,故 A,M,B,N 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|,
所以 ·|AB|2+|DE|2= |MN|2,
所以 4(m2+1)2+(2m+ )2+( +2)2= ,化简可得 m2-1=0,
所以 m=±1,
所以直线 l 的方程为 x-y-1=0,或 x+y-1=0.
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