2020高中数学第三章指数函数和对数函数3 5页

第三章　 1　正整数指数函数 一、选择题 ‎1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有(　　)‎ ‎①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)．‎ A．0个　 B．1个　‎ C．2个　 D．3个 ‎[答案]　D ‎[解析]　由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D.‎ ‎2．函数y＝()x，x∈N＋的值域是(　　)‎ A．R B．[0，＋∞)‎ C．N D．{，，，…}‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵n∈N＋，∴把n＝1,2,3，…代入可知选D.‎ ‎3．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；‎ ‎③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．‎ 其中是正整数指数函数的个数为(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎[答案]　B ‎[解析]　由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B.‎ ‎4．函数y＝()x，x∈N＋是(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 ‎[答案]　D ‎[解析]　∵0<<1，当x∈N＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D.‎ ‎5．函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是(　　)‎ A．R B．N＋‎ C．[0，＋∞) D．不存在 ‎[答案]　D ‎[解析]　由于函数y＝7x，x∈N＋的定义域是N＋，而N＋不是区间，则该函数不存在单调区间．‎ 5‎ ‎6．满足3x2－1＝的x的值的集合为(　　)‎ A．{1} B．{－1,1}‎ C．∅ D．{0}‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　3 x2－1＝3－2，∴x2－1＝－2，即x2＝－1，无解．‎ 二、填空题 ‎7．已知函数f(x)＝(m－1)·4x(x∈N＋)是正整数指数函数，则实数m＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　由m－1＝1，得m＝2.‎ ‎8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________．‎ ‎[答案]　2400元 ‎[解析]　5年后价格为8100×；10年后价格为8100×2；15年后价格为8100×3＝2400(元)．‎ 三、解答题 ‎9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18 ，以后的年生长率为10 ，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)‎ ‎[解析]　设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：‎ ‎①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18 )5(1＋10 )5；‎ ‎②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18 )5，‎ 则＝，‎ 因为(1＋10 )5≈1.61<2，所以>1，即M>N.‎ 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．‎ ‎10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2009年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2010年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6 的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2014年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)‎ ‎[分析]‎ 5‎ ‎　本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．‎ ‎[解析]　农民人均收入 于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6 )5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)，‎ ‎∴农民人均收入为10452＋6150＝16602(元)．‎ 答：2014年该地区农民人均收入约为16602元.‎ 一、选择题 ‎1．若f(x)＝3x(x∈N且x>0)，则函数y＝f(－x)在其定义域上为(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵f(x)＝3x(x∈N且x<0)，‎ ‎∴y＝f(－x)＝3－x＝()x，‎ ‎∴函数为减函数，故选B.‎ ‎2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2 ,2010年和2011年种植植被815万m2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)(　　)‎ A．848万m2 B．1679万m2‎ C．1173万m2 D．12494万m2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　2012 2013年为815×(1＋2 )，‎ ‎2014 2015年为815×(1＋2 )×(1＋2 )．‎ 共为815×(1＋2 )＋815×(1＋2 )(1＋2 )≈1679.‎ 二、填空题 ‎3．不等式()3－x2<32x(x∈N＋)的解集是________．‎ ‎[答案]　{1,2}‎ ‎[解析]　由()3－x2<32x得3 x2－3<32x.‎ ‎∵函数y＝3x，x∈N＋为增函数，‎ ‎∴x2－3<2x，即x2－2x－3<0，‎ ‎∴(x－3)(x＋1)<0，解得－1”“<”或“＝”填空：‎ 5‎ ‎()x________1,2x________1，()x________2x，()x________()x,2x________3x.‎ ‎[答案]　<　>　<　>　<‎ ‎[解析]　∵x∈N＋，∴()x<1,2x>1.‎ ‎∴2x>()x.又根据对其图像的研究，知2x<3x，()x>()x.也可以代入特殊值比较大小．‎ 三、解答题 ‎5．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(5)；‎ ‎(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．‎ ‎[解析]　(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，‎ 所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，‎ 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．‎ ‎(2)f(5)＝35＝243.‎ ‎(3)因为f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)无最大值．‎ ‎6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2 ，试解答下面的问题：‎ ‎(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；‎ ‎(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；‎ ‎(3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2 )10≈1.127，(1＋1.2 )15≈1.196，(1＋1.2 )16≈1.21)?‎ ‎[分析]　本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得x年的解析式．‎ ‎[解析]　(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2 ＝100×(1＋1.2 )；‎ ‎2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2 )＋100×(1＋1.2 )×1.2 ＝100×(1＋1.2 )2；‎ ‎3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2 )3.‎ x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2 )x.‎ ‎(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2 )10＝100×1.01210≈112.7(万人)．‎ ‎(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2 )x＝120，解方程可得x≈16.‎ 即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．‎ 5‎ ‎7．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．‎ ‎(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．‎ ‎[解析]　(1)1999年年底的人口数：13亿；‎ 经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；‎ 经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；‎ 经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．‎ ‎∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．‎ ‎∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，‎ ‎∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．‎ ‎(2)理论上指数函数定义域为R，‎ ‎∵此问题以年作为单位时间，‎ ‎∴x∈N是此函数的定义域．‎ ‎(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，‎ ‎∵1＋1‰>1,13>0，‎ ‎∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，‎ 即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长． ‎ 5‎