2020高中数学 专题强化训练2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修1-1 6页

专题强化训练(二) 圆锥曲线与方程 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝‎2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为 (　　)‎ A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 C　[依题意，得|F‎1F2|＝10.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝‎2a＝6<|F‎1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝‎2a＝10＝|F‎1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线．故选C.]‎ ‎2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 (　　)‎ A.＋＝1　　 B．x2＋＝1‎ C.＋y2＝1 D.＋＝1‎ B　[椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.]‎ ‎3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e＝(　　) ‎ ‎【导学号：97792113】‎ A.　　B．‎2　‎　　C.　　D．3‎ A　[由题意知－×＝－1，即＝1，‎ ‎∴e2＝1＋＝2，即e＝.]‎ ‎4．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ 6‎ B　[双曲线的渐近线方程为y＝±x，则直线y＝与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点．]‎ ‎5．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)‎ A．2 B．1 ‎ C．0 D．0或1‎ A　[由题意，得>2，所以m2＋n2<4，则－21)，‎ 则右焦点F(，0)，‎ 由题设，知＝3，‎ 解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设点P为弦MN的中点，由 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，‎ 由于直线与椭圆有两个交点，‎ 所以Δ>0，即m2<3k2＋1，①‎ 所以xP＝＝－，‎ 从而yP＝kxP＋m＝，‎ 所以kAP＝＝－，‎ 又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，‎ 则－＝－，即‎2m＝3k2＋1，②‎ 把②代入①得‎2m>m2，解得00，解得m>，‎ 故所求m的取值范围是.‎ ‎10．已知椭圆C经过点A，两个焦点为(－1，0)，(1,0)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．‎ ‎[解]　(1)由题意，c＝1，设椭圆的方程为＋＝1.‎ 6‎ 因为A在椭圆上，所以＋＝1，‎ 解得b2＝3或b2＝－(舍去)．‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，‎ 代入＋＝1，‎ 得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4－12＝0，‎ 设E(xE，yE)，F(xF，yF)，‎ 所以xE＝，yE＝kxE＋－k.‎ 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得 xF＝，yF＝－kxF＋＋k.‎ 所以直线EF的斜率 kEF＝＝＝.‎ 即直线EF的斜率为定值，其值为.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A.若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D．2 B　[如图，延长AF交l2于A1，则易得|OA|＝|OA1|.在△OAA1中，F为AA1的中点，而BF∥OA，所以B为OA1的中点．‎ 又AB⊥OA1，于是△OAA1中边OA1上的高线与中线重合，从而△OAA1为等边三角形，所以边OA即直线l1与x轴的夹角为30°，所以e＝＝.]‎ 6‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．‎ ‎2　[如图所示，双曲线－y2＝1的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，‎ 所以|F‎1F2|＝4.‎ 双曲线－y2＝1的右准线方程为x＝＝，‎ 渐近线方程为y＝±x.‎ 由得P.同理可得Q.‎ ‎∴|PQ|＝，‎ ‎∴S四边形F1PF2Q＝·|F‎1F2|·|PQ|＝×4×＝2.]‎ ‎3．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为________. ‎ ‎【导学号：97792115】‎ －＝1　[法一：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．又点(3，2)在双曲线上，故－＝1.又a2＋b2＝16＋4＝20，得a2＝12，b2＝8，则双曲线的标准方程为－＝1.‎ 法二：设双曲线的标准方程为－＝1(－41时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．‎ 由 得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k‎2m2‎－4＝0.‎ 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，‎ 即m2k2＝k2＋1.‎ 所以|AB|＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 由于当m＝±1时，|AB|＝，‎ 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．‎ 因为|AB|＝＝≤2，‎ 当且仅当m＝±时，|AB|＝2，‎ 所以|AB|的最大值为2.‎ 6‎