人教A版高中数学1-3-1函数的最大（小）值教案新人教版必修1 4页

1.3.1（2）函数的最大（小）值（教学设计） 教学目的： （1）理解函数的最大（小）值及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程： 一、 复习回顾，新课引入 1、用定义证明函数的单调性： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： ○1 说出 y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1） 32)(  xxf （2） 32)(  xxf ]2,1[x （3） 12)( 2  xxxf （4） 12)( 2  xxxf ]2,2[x 二、师生互动，新课讲解： （一）函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； （2）存在 x0∈I，使得 f(x0) = M 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值（Maximum Value）． 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义． 设函数 )(xfy  的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的 Ix  ，都有 Mxf )( ； （2）存在 Ix 0 ，使得 Mxf )( 0 ． 那么，我们称 M 是函数 )(xfy  的最小值(minimum value)． 注意： ○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0∈I，使得 f(x0) = M； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M（f(x)≥M）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 （1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 （2）利用图象求函数的最大（小）值 （3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 1）如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)； 2）如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)； （二）典型例题 例 1．（课本 P30 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解一：（顶点法）； 解二：（配方法）y=-4.9（x-1.5）2+29.025 说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函 数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值． 变式训练 1：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为 x，面积为 y，试将 y 表示成 x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？ 例 2：（课本 P31 例 4）求函数 1 2  xy 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 分析：函数单调性求最值。 变式训练 2：求函数 y= 1 1x  在区间[2,6]上的最大值和最小值。 例 3 观察下图，用函数的单调性研究以下问题： (1) 若函数 ( )y f x 的定义域为  ,x b e ，求最大值和最小值； (2) 若函数 ( )y f x 的定义域为  ,x a e ，求最大值和最小值； (3) 若函数 ( )y f x 的定义域为  ,x b d ，求最大值和最小值； 解：(1)在定义域 ,b e 上，函数 ( )y f x 在区间 ,b c 上是增函数，在区间 ,c d 上是减函数， 在区间 ,d e 上 是增函数，且 ( ) ( )f e f c ，则函数 ( )y f x 在 ,b e 上的最大值为 ( )f c ，最小值为 ( )f d ； (2) 在定义域 ,a e 上，函数 ( )y f x 在区间 ,a c 上是增函数，在区间 ,c d 上是减函数， 在区间 ,d e 上是增 函数，且 ( ) ( )f a f d ，则函数 ( )y f x 在 ,a e 上的最大值为 ( )f c ，最小值为 ( )f a ； (3) 在定义域 ,b d 上，函数 ( )y f x 在区间 ,b c 上是增函数，在区间 ,c d 上是减函数， 由于函数在 x d 处 没有定义，则函数 ( )y f x 在 ,b d 上的最大值为 ( )f c ，没有最小值． 思考：为什么要讨论 )()( cfef  ？ 说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函 数值． 变式训练 3：根据函数图象研究函数 y=x2-2x-1 在下列区间上的最值： （1）[-2，0]；（2）[-2，2]；（3）[0，2]；（3）[0，3]；（4）[2，4] 25 三、课堂小结，巩固反思： 函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者 整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存 在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样． 我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 四、布置作业： A 组： 1、（课本 P39 习题 1.3A 组 NO：5） 2、求下列函数的最值： (1)y= -x2-4x+5； (2)y= -x2-4x+5 ，x[-4,-3]； (3) y= -x2-4x+5 ，x[-4,-1] （4）y= -x2-4x+5 ，x[-3,-1]；（5）y= -x2-4x+5 ，x[-1,3]；(6) y= -x2-4x+5 ，x[0,4] B 组： 1、（课本 P39 习题 1.3B 组 NO：1） 2、（课本 P39 习题1.3B 组 NO：2） C 组： 例 2．旅 馆 定 价 一个星级旅馆有 150 个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下： 房价（元） 住房率(%) 160 55 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为 160 元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系． 设 y 为旅馆一天的客房总收入， x 为与房价 160 相比降低的房价，因此当房价为 )160( x 元时，住房率为 )%102055(  x ，于是得 y =150· )160( x · )%102055(  x ． 由于 )%102055(  x ≤1，可知 0≤ x ≤90． 因此问题转化为：当 0≤ x ≤90 时，求 y 的最大值的问题． 将 y 的两边同除以一个常数 0.75，得 y 1=－ x 2＋50 x ＋17600． 由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值，可知 y 也在 x =25时取得最大值，此时房价定位应是 160－25=135（元），相 应的住房率为 67.5%，最大住房总收入为 13668.75（元）． 所以该客房定价应为 135 元．（当然为了便于管理，定价 140 元也是比较合理的）