2019年高考数学练习题汇总2_三角函数与解三角形 6页

‎2.三角函数与解三角形 ‎1.已知α为锐角，cos＝.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求sin的值.‎ 解　(1)因为α∈，所以α＋∈，‎ 所以sin＝＝，‎ 所以tan＝＝2.‎ ‎(2)因为sin ‎＝sin 2＝2sincos＝，‎ cos＝cos 2＝2cos2－1＝－，‎ 所以sin＝sin ‎＝sincos －cossin ＝.‎ ‎2.已知△ABC中， AC＝2，A＝，cos C＝3sin B.‎ ‎(1)求AB；‎ ‎(2)若D为BC边上一点，且△ACD的面积为，求∠ADC的正弦值.‎ 解　(1)因为A＝，所以B＝－C，‎ 由cos C＝3sin B得，cos C＝sin，‎ 所以cos C＝＝cos C－sin C，‎ 所以cos C＝sin C，即tan C＝.‎ 又因为C∈，‎ 所以C＝，从而得B＝－C＝，所以AB＝AC＝2.‎ ‎(2)由已知得·AC·CDsin ＝，所以CD＝，‎ 在△ACD中，由余弦定理得，AD2＝AC2＋CD2－2AC·‎ CDcos C＝，即AD＝，‎ 由正弦定理得，＝，‎ 故sin∠ADC＝＝.‎ ‎3.已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若角α满足f(α)＋f ＝1，α∈(0，π)，求角α的值.‎ 解　(1)由条件知周期T＝2π，‎ 即＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asin.‎ 因为f(x)的图象经过点，‎ 所以Asin＝，所以A＝1，‎ 所以f(x)＝sin.‎ ‎(2)由f(α)＋f ＝1，‎ 得sin＋sin＝1，‎ 即sin－cos＝1，‎ 所以2sin＝1，‎ 即sin α＝.‎ 因为α∈(0，π)，所以α＝或.‎ ‎4.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin 2C＝csin B.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin＝，求sin A的值.‎ 解　(1)由bsin 2C＝csin B，根据正弦定理得 ‎2sin Bsin Ccos C＝sin Csin B.‎ 因为sin B＞0，sin C＞0，所以cos C＝.‎ 又C∈(0，π)，所以C＝.‎ ‎(2)因为C＝，所以B∈，‎ 所以B－∈，‎ 又sin＝，‎ 所以cos＝＝.‎ 又A＋B＝，即A＝－B，‎ 所以sin A＝sin＝sin ‎＝sin cos－cos sin ‎＝×－×＝.‎ ‎5.已知向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)，α∈.‎ ‎(1)若a－b＝，求t的值；‎ ‎(2)若t＝1，且a·b＝1，求tan的值.‎ 解　(1)方法一　因为向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)，且a－b＝，‎ 所以cos α－sin α＝，t＝sin2α.‎ 由cos α－sin α＝，得(cos α－sin α)2＝，‎ 即1－2sin αcos α＝，从而2sin αcos α＝.‎ 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＋sin α＝，‎ 所以sin α＝＝，‎ 从而t＝sin2α＝.‎ 方法二　因为向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)，‎ 且a－b＝，所以cos α－sin α＝，t＝sin2α.‎ 又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋2＝1，‎ 整理得50sin2α＋10sin α－24＝0，‎ 解得sin α＝－或sin α＝.‎ 因为α∈，所以sin α＞0，所以sin α＝，‎ 从而t＝sin2α＝.‎ ‎(2)方法一　因为t＝1，且a·b＝1，‎ 所以4sin αcos α＋sin2α＝1，即4sin αcos α＝cos2α.‎ 因为α∈，所以cos α≠0，从而tan α＝.‎ 所以tan 2α＝＝.‎ 从而tan＝＝＝.‎ 方法二　因为t＝1，且a·b＝1，‎ 所以4sin αcos α＋sin2α＝1，即4sin αcos α＝cos2α.‎ 所以2sin 2α＝，即4sin 2α－cos 2α＝1，‎ 又sin22α＋cos22α＝1，所以sin22α＋(4sin 2α－1)2＝1，‎ 整理得17sin22α－8sin 2α＝0，‎ 解得sin 2α＝或sin 2α＝0.‎ 因为α∈，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＞0，‎ 所以sin 2α＝，代入4sin 2α－cos 2α＝1，得cos 2α＝，‎ 因为tan 2α＝＝，‎ 从而tan＝＝＝.‎ ‎6.已知函数f(x)＝2·sin2＋2sin·cos.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足f(A)＝＋1，若a＝3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S.‎ 解　(1)f(x)＝2sin2＋2sincos ‎＝＋sin ‎＝sin 2x＋cos 2x＋＝2sin＋.‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由f(A)＝2sin＋＝＋1，‎ 得sin＝，‎ 因为A∈(0，π)，所以2A∈(0,2π)，2A＋∈，‎ 所以2A＋＝，则A＝，又BC边上的中线长为3，所以|＋|＝6，‎ 所以||2＋||2＋2·＝36，‎ 即b2＋c2＋2bccos A＝36，所以b2＋c2＋bc＝36， ①‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 得b2＋c2－bc＝9， ②‎ 由①②得，bc＝，‎ 所以S＝bcsin A＝.‎