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- 2021-06-11 发布
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2019届高三数学专题练习三视图与体积、表面积
1.由三视图求面积
例1:一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_________.
2.由三视图求体积
例2:某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
A.4 B. C. D.8
一、单选题
1.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为16+π,则俯视图中圆的半径为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.正方体中,为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )
A. B. C. D.
3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.4
4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示,则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于( )
A. B. C. D.
6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.一个四棱锥的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为2,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
9.在四棱锥中,底面,底面为正方形,,该四棱锥被一平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
10.如图,画出的是某四棱锥的三视图,网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为( )
A.15 B.16 C. D.
11.某几何体的三视图如图(虚线刻画的小正方形边长为1)所示,则这个几何体的体积为( )
A. B. C.12 D.
12.如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为( )
A. B.7 C. D.
二、填空题
13.网格纸上小正方形的边长为1,粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图,则该被挖去的几何体的体积为__________.
14.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______.
15.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为_________.
16.已知某几何体的三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几何体的体积为__________.
1.由三视图求面积
例1:一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_________.
【答案】
【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成,
其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和.球的半径为3,
∴半球的面积,圆锥的底面半径为3,母线长为5,
∴圆锥的侧面积为,∴表面积为.
2.由三视图求体积
例2:某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
A.4 B. C. D.8
【答案】D
【解析】由于长方体被平面所截,
∴很难直接求出几何体的体积,可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体,
从而拼成了一个长方体,∵长方体由两个完全一样的几何体拼成,
∴所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形,
且边长为2,长方体的高为,
∴,∴,故选D.
一、单选题
1.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为16+π,则俯视图中圆的半径为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球,设圆半径为,
∴该几何体的表面积,得,故选A.
2.正方体中,为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知:过点、、的平面截去该正方体的上半部分,如图直观图,
则几何体的左视图为D,故选D.
3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.4
【答案】A
【解析】由三视图可得,该几何体是如图所示的三棱柱挖去一个三棱锥,故所求几何体的体积为,故选A.
4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知,其对应的几何体是半个圆锥,圆锥的底面半径为,
圆锥的高,其母线长,则该几何体的表面积为:,本题选择C选项.
5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示,则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3,4,5的三角形,
高为5的三棱柱被平面截得的,如图所示,
截去的是一个三棱锥,底面是边长为3,4,5的直角三角形,高为3的棱锥,
如图蓝色线条的图像是该棱锥,三棱锥上底面外接圆半径圆心设为半径为,
球心到底面距离为,设球心为,
由勾股定理得到,,故选A.
6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】还原几何体如图所示三棱锥由(如下左图),
将此三棱锥补形为直三棱柱(如上右图),
在直三棱柱中取的中点,取中点,
,,故答案为C.
7.一个四棱锥的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据三视图,画出原空间结构图如下图所示:
∴表面积为
,∴故选B.
8.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为2,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,
即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为2,,,
∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,
且球半径为,
∴三棱锥外接球表面积为,
∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.
9.在四棱锥中,底面,底面为正方形,,该四棱锥被一平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三视图知,剩余部分的几何体是四棱锥被平面截去三棱锥
(为中点)后的部分,连接交于,连楼,则,
且,设,则,,
剩余部分的体积为:,则所求的体积比值为:.
本题选择B选项.
10.如图,画出的是某四棱锥的三视图,网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为( )
A.15 B.16 C. D.
【答案】C
【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥,
底面四边形的面积为,
∴四棱锥的体积为,故答案为C.
11.某几何体的三视图如图(虚线刻画的小正方形边长为1)所示,则这个几何体的体积为( )
A. B. C.12 D.
【答案】D
【解析】几何体为如图多面体,
∴体积为,故选D.
12.如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为( )
A. B.7 C. D.
【答案】B
【解析】如图所示,该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥,
∴该多面体的体积为;故选B.
二、填空题
13.网格纸上小正方形的边长为1,粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图,则该被挖去的几何体的体积为__________.
【答案】12
【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形(上底为2,下底为4,高为2)高为2的直四棱柱,∴.
14.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______.
【答案】,
【解析】由三视图可知,其对应的几何体是一个组合体,上半部分是一个直径为2的球,下半部分是一个直棱柱,棱柱的底面是边长为2的正方形,高为4,
则该几何体的表面积,
几何体的体积:.
15.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为_________.
【答案】1
【解析】根据题中所给的三视图,还原几何体,
可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥,
该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形,
根据图中所给的数据,结合椎体的体积公式,
可得其体积,故答案是1.
16.已知某几何体的三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几何体的体积为__________.
【答案】
【解析】由三视图知,该几何体由正方体沿面与面截去两个角所得,
其体积为,故答案为.
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