2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第7讲抛物线课件 44页

第 7 讲 抛物线 课标要求 考情风向标 1. 了解圆锥曲线的实际背 景，感受圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中 的作用 . 2. 经历从具体情境中抽象 出抛物线模型的过程，掌握 它的定义、标准方程、几何 图形及简单性质 . 3. 通过圆锥曲线的学习，进 一步体会数形结合的思想 1. 本节复习时，应紧扣抛物线的定义、熟 练掌握抛物线的标准方程、几何图形、简 单的几何性质及其应用 . 要善于利用抛物 线的定义将抛物线上的点到准线的距离 和到焦点的距离进行转化 . 2. 由于高考对抛 物线这一知识点的要求 属于 “ 掌握 ” 这一层次，而且以抛物线为 背景的试题中渗透考查了数学的主要思 想，且高考的考查基于 “ 多思少算 ” 的考 虑，所以以抛物线为背景的解答题在高考 中明显增多，因此我们应重视这一知识点 的复习 1. 抛物线的定义 准线 平面上到定点的距离与到定直线 l ( 定点不在直线 l 上 ) 的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦 点，定直线 为抛物线的 ________. 2. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p >0) ( 续表 ) ) C 1. 已知抛物线 C ： y ＝ 2020 x 2 ，则 ( A. 它的焦点坐标为 (505,0) B. 它的焦点坐标为 (0,505) 1 C. 它的准线方程是 y ＝－ 8080 D. 它的准线方程是 y ＝－ 505 2. 若抛物线 y 2 ＝ 4 x 上的点 M 到焦点的距离为 10 ，则 M 到 y 9 轴的距离是 ___. 解析： x M ＋ 1 ＝ 10⇒ x M ＝ 9. 3.(2019 年广东中山统测 ) 过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点作直线交 抛物线于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点 . 若 x 1 ＋ x 2 ＝ 6 ，则 | AB | ＝ ( ) B A.6 C.9 B.8 D.10 解析： 由题意知，抛物线 y 2 ＝ 4 x 的准线方程是 x ＝－ 1.∵ 过 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两 点， ∴ | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ 2. 又 ∵ x 1 ＋ x 2 ＝ 6 ， ∴ | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ 2 ＝ 8. 故选 B. C 考点 1 抛物线的标准方程 A.1 B.2 C.4 D.8 答案： A 图 D56 答案： B 答案： C 【 方法与技巧 】 第 (1) 题利用抛物线的定义直接得出 p 的值 可以减少运算；第 (2) 题主要考查抛物线的性质及运 算，注意解 析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运 算的准确性与技巧性 . 考点 2 抛物线的几何性质 考向 1 到焦点与到定点距离之和最小问题 例 2 ： (20 19 年江西赣州模拟 ) 若点 A 的坐标为 (3,2) ， F 是抛 物线 y 2 ＝ 2 x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使 | MF | ＋ | MA | 取 得最小值的 M 的坐标为 ( ) 解析： 过 M 点作准线的垂线，垂足为 N ，则 | MF | ＋ | MA | ＝ | MN | ＋ | MA | ，当 A ， M ， N 三点共线时， | MF | ＋ | MA | 取得最小值，此 时 M (2,2). 答案： D 考向 2 到点与到准线的距离之和最小问题 例 3 ： (1) 已知点 P 为抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 上一点，记 P 到此 抛物线准线 l 的距离为 d 1 ，点 P 到圆 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 4 上点的 距离为 d 2 ，则 d 1 ＋ d 2 的最小值为 ________. 解析： 易知圆 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 4 的圆心为 M ( － 2 ，－ 4) ， 半径为 2 ， 设抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F (1,0) ，连接 PF ，如图 D57. 由抛物线的定义，得 d 1 ＋ d 2 ＝ | PF | ＋ d 2 ， 要求 | PF | ＋ d 2 的最小值，需 F ， P ， M 三点共线， 答案： 3 图 D57 答案： A 考向 3 到定直线的距离和最小问题 到直线 l 1 ： 4 x － 3 y ＋ 6 ＝ 0 的距离， ∴ 最小值是 解析： 由题意可知 l 2 ： x ＝－ 1 是抛物线 y 2 ＝ 4 x 的准线，设 抛物线的焦点为 F (1,0) ，如图 D58 ，则动点 P 到 l 2 的距离等于 | PF | ，动点 P 到直线 l 1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是焦点 F |4 － 0 ＋ 6| 5 ＝ 2. 图 D58 答案： B 【 规律方法 】 求两个距离和的最小值，当两条直线拉直 ( 三 点共线 ) 时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联 想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到 其焦点的距离，进行转换再求解 . 考向 4 抛物线几向性质与三角形的简单应用 例 5 ： (2015 年浙江 ) 如图 7-7-1 ，设抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F ， 不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ， B ， C ，其中点 A ， B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则 △ BCF 与 △ ACF 的面积之比 是 ( ) 答案： A 考点 3 直线与抛物线的位置关系 例 6 ： (20 18 年新课标 Ⅰ ) 设抛物线 C ： y 2 ＝ 2 x ，点 A (2,0) ， B ( － 2,0) ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ， N 两点 . (1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2) 证明： ∠ ABM ＝ ∠ ABN . 【 跟踪训练 】 D 思想与方法 ⊙ 利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题 (5) 设 AB 的中点为 M ( x 0 ， y 0 ) ，分别过 A ， M ， B 作准线的 垂线，垂足分别为 C ， N ， D ，如图 7-7-2. 图 7-7-2 【 规律方法 】 解决焦点弦问题的关键是 “设而不求”方法 的应用，解题时 ，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物 线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解 . 【 跟踪训练 】 2.( 多选 ) AB 为过抛物线焦点的动弦， P 为 AB 的中点， A ， B ， P 在准线 l 的射影分别是 A 1 ， B 1 ， P 1 . 下列结论正确的是 ( ) A. FA 1 ⊥ FB 1 C. BP 1 ⊥ FB 1 B. AP 1 ⊥ BP 1 D. AP 1 ⊥ FA 1 (1) (3) (2) (4) 图 D59 答案： ABCD 【 规律方法 】 利用抛物线的定义 “ P 到该抛物线准线的距 离等于点 P 到其焦点的距离”能得到多个等腰三角 形，然后利 用平行线的性质，得到多对相等的角，最后充分利用平面几何 的性质解题 . 1. 对于抛物线的标准方程有四种形式，重点把握好两点： ①“ p ” 是焦点到准线的距离，恒为正数； ② 要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次 项，符号决定开口方向” . 对抛物线的标准方程要准确把握，注 意和二次函数的形式区分开，例如抛物线 y ＝ 2 x 2 化成标准方程 物线开口方向，防止设错抛物线的标准方程 . 2. 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M ， 一个定点 F ( 抛物线的焦点 ) ，一条定直线 l ( 抛物线的准线 ) ，一 个定值 1( 抛物线的离心率 ). 3. 抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准 线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有着 重要作用 . 5. 直线与抛物线只有一个交点并不表明直线与抛物线相 切，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点， 但该种关系显然不是相切 . 因此通过方程判断直线与抛物线的 位置关系时，要注意这种特殊情形 .