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  • 2021-06-11 发布

高二数学人教a版选修4-5学业分层测评6word版含答案

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学业分层测评(六) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知 a>2,b>2,则( ) A.ab≥a+b B.ab≤a+b C.ab>a+b D.ab<a+b 【解析】 ∵a>2,b>2,∴a 2 -1>0,b 2 -1>0, 则 ab-(a+b)=a 1 2b-1 +b 1 2a-1 >0, ∴ab>a+b. 【答案】 C 2.已知 a>b>-1,则 1 a+1 与 1 b+1 的大小关系为( ) A. 1 a+1 > 1 b+1 B. 1 a+1 < 1 b+1 C. 1 a+1 ≥ 1 b+1 D. 1 a+1 ≤ 1 b+1 【解析】 ∵a>b>-1,∴a+1>0,b+1>0,a-b>0,则 1 a+1 - 1 b+1 = b-a a+1b+1 <0,∴ 1 a+1 < 1 b+1. 【答案】 B 3.a,b 都是正数,P= a+ b 2 ,Q= a+b,则 P,Q 的大小关系是( ) 【导学号:32750031】 A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q 【解析】 ∵a,b 都是正数, ∴P>0,Q>0, ∴P2-Q2= a+ b 2 2 -( a+b)2 =- a- b2 2 ≤0(当且仅当 a=b 时取等号), ∴P2-Q2≤0. ∴P≤Q. 【答案】 D 4.下列四个数中最大的是( ) A.lg 2 B.lg 2 C.(lg 2)2 D.lg(lg 2) 【解析】 ∵0<lg 2<1< 2<2, ∴lg(lg 2)<0<lg 2<lg 2, 且(lg 2)2<lg 2,故选 A. 【答案】 A 5.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则 a5 与 b5 的大小关系是( ) A.a5b5 C.a5=b5 D.不确定 【解析】 设{an}的公比为 q,{bn}的公差为 d, 则 a5-b5=a1q4-(b1+4d)=a1q4-(a1+4d). ∵a3=b3,∴a1q2=b1+2d,即 a1q2=a1+2d, ∴a21q4=(a1+2d)2=a21+4a1d+4d2, ∴a5-b5=a21q4-a1a1+4d a1 =a21+4a1d+4d2-a1a1+4d a1 =4d2 a1 . ∵a1>0,d≠0,∴a5-b5>0, ∴a5>b5. 【答案】 B 二、填空题 6.设 P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若 P>Q,则实数 a,b 满足的条件为 ________. 【导学号:32750032】 【解析】 P-Q=a2b2+5-(2ab-a2-4a) =a2b2+5-2ab+a2+4a =a2b2-2ab+1+4+a2+4a =(ab-1)2+(a+2)2. ∵P>Q,∴P-Q>0, 即(ab-1)2+(a+2)2>0, ∴ab≠1 或 a≠-2. 【答案】 ab≠1 或 a≠-2 7.若 x<y<0,M=(x2+y2)(x-y),N=(x2-y2)(x+y),则 M,N 的大小关 系为________. 【解析】 M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y). ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0, ∴-2xy(x-y)>0,∴M-N>0,即 M>N. 【答案】 M>N 8.已知 a>0,1>b>0,a-b>ab,则 1+a与 1 1-b 的大小关系是________. 【解析】 ∵a>0,1>b>0,a-b>ab, ∴(1+a)(1-b)=1+a-b-ab>1. 从而 1+a 1 1-b = 1+a1-b>1, ∴ 1+a> 1 1-b . 【答案】 1+a> 1 1-b 三、解答题 9.已知 a>2,求证:loga(a-1)<log(a+1)a. 【证明】 ∵a>2, 则 a-1>1, ∴loga(a-1)>0,log(a+1)a>0, 由于logaa-1 loga+1a =loga(a-1)·loga(a+1) < logaa-1+logaa+1 2 2 = logaa2-1 2 2 . ∵a>2,∴0<loga(a2-1)<logaa2=2, ∴ logaa2-1 2 2 < logaa2 2 2 =1, 因此logaa-1 loga+1a <1. ∵log(a+1)a>0,∴loga(a-1)<log(a+1)a. 10.已知{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 【解】 (1)由题设知 2a3=a1+a2, 即 2a1q2=a1+a1q. 又 a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1 或-1 2. (2)若 q=1,则 Sn=2n+nn-1 2 =n2+3n 2 =nn+3 2 . 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1=n-1n+2 2 >0, 故 Sn>bn. 若 q=-1 2 ,则 Sn=2n+nn-1 2 · -1 2 =-n2+9n 4 =-n-9n 4 . 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1=-n-1n-10 4 , 故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn; 当 n=10 时,Sn=bn; 当 n≥11 时,Sn<bn. [能力提升] 1.已知 a>0,b>0,m= a b + b a , n= a+ b,p= a+b,则 m,n,p 的大小顺序是( ) A.m≥n>p B.m>n≥p C.n>m>p D.n≥m>p 【解析】 由已知 m= a b + b a ,n= a+ b,得 a=b>0 时 m=n,可否定 B,C.比较 A,D 项,不必论证与 p 的关系.取特值 a=4,b=1,则 m=4+1 2 = 9 2 ,n=2+1=3,∴m>n,可排除 D. 【答案】 A 2.设 m>n,n∈N*,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,x>1,则 a 与 b 的大小关系为( ) A.a≥b B.a≤b C.与 x 值有关,大小不定 D.以上都不正确 【解析】 要比较 a 与 b 的大小,通常采用比较法,根据 a 与 b 均为对数表 达式,只有作差,a 与 b 两个对数表达式才能运算、整理化简,才有可能判断出 a 与 b 的大小. a-b=lgmx+lg-mx-lgnx-lg-nx =(lgmx-lgnx)- 1 lgnx - 1 lgmx =(lgmx-lgnx)-lgmx-lgnx lgmxlgnx =(lgmx-lgnx) 1- 1 lgmxlgnx =(lgmx-lgnx) 1- 1 lgm+nx . ∵x>1,∴lg x>0. 当 0<lg x<1 时,a>b; 当 lg x=1 时,a=b; 当 lg x>1 时,a>b. ∴应选 A. 【答案】 A 3.一个个体户有一种商品,其成本低于3 500 9 元.如果月初售出可获利 100 元,再将本利存入银行,已知银行月息为 2.5%,如果月末售出可获利 120 元, 但要付成本的 2%的保管费,这种商品应________出售(填“月初”或“月末”). 【解析】 设这种商品的成本费为 a 元. 月初售出的利润为 L1=100+(a+100)×2.5%, 月末售出的利润为 L2=120-2%a, 则 L1-L2=100+0.025a+2.5-120+0.02a =0.045 a-3 500 9 , ∵a<3 500 9 ,∴L1<L2,月末出售好. 【答案】 月末 4.若实数 x,y,m 满足|x-m|<|y-m|,则称 x 比 y 接近 m.对任意两个不相 等的正数 a,b,证明:a2b+ab2 比 a3+b3 接近 2ab ab. 【证明】 ∵a>0,b>0,且 a≠b, ∴a2b+ab2>2ab ab,a3+b3>2ab ab. ∴a2b+ab2-2ab ab>0, a3+b3-2ab ab>0. ∴|a2b+ab2-2ab ab|-|a3+b3-2ab ab| =a2b+ab2-2ab ab-a3-b3+2ab ab =a2b+ab2-a3-b3=a2(b-a)+b2(a-b) =(a-b)(b2-a2)=-(a-b)2(a+b)<0, ∴|a2b+ab2-2ab ab|<|a3+b3-2ab ab|, ∴a2b+ab2 比 a3+b3 接近 2ab ab.