高二数学人教a版选修4-5学业分层测评6word版含答案 6页

学业分层测评（六） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知 a＞2，b＞2，则( ) A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b C．ab＞a＋b D.ab＜a＋b 【解析】 ∵a＞2，b＞2，∴a 2 －1＞0，b 2 －1＞0， 则 ab－(a＋b)＝a 1 2b－1 ＋b 1 2a－1 ＞0， ∴ab＞a＋b. 【答案】 C 2．已知 a＞b＞－1，则 1 a＋1 与 1 b＋1 的大小关系为( ) A. 1 a＋1 ＞ 1 b＋1 B. 1 a＋1 ＜ 1 b＋1 C. 1 a＋1 ≥ 1 b＋1 D. 1 a＋1 ≤ 1 b＋1 【解析】 ∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则 1 a＋1 － 1 b＋1 ＝ b－a a＋1b＋1 ＜0，∴ 1 a＋1 ＜ 1 b＋1. 【答案】 B 3．a，b 都是正数，P＝ a＋ b 2 ，Q＝ a＋b，则 P，Q 的大小关系是( ) 【导学号：32750031】 A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D.P≤Q 【解析】 ∵a，b 都是正数， ∴P＞0，Q＞0， ∴P2－Q2＝ a＋ b 2 2 －( a＋b)2 ＝－ a－ b2 2 ≤0(当且仅当 a＝b 时取等号)， ∴P2－Q2≤0. ∴P≤Q. 【答案】 D 4．下列四个数中最大的是( ) A．lg 2 B．lg 2 C．(lg 2)2 D.lg(lg 2) 【解析】 ∵0＜lg 2＜1＜ 2＜2， ∴lg(lg 2)＜0＜lg 2＜lg 2， 且(lg 2)2＜lg 2，故选 A. 【答案】 A 5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则 a5 与 b5 的大小关系是( ) A．a5b5 C．a5＝b5 D.不确定 【解析】 设{an}的公比为 q，{bn}的公差为 d， 则 a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝a1q4－(a1＋4d)． ∵a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，即 a1q2＝a1＋2d， ∴a21q4＝(a1＋2d)2＝a21＋4a1d＋4d2， ∴a5－b5＝a21q4－a1a1＋4d a1 ＝a21＋4a1d＋4d2－a1a1＋4d a1 ＝4d2 a1 . ∵a1>0，d≠0，∴a5－b5>0， ∴a5>b5. 【答案】 B 二、填空题 6．设 P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若 P>Q，则实数 a，b 满足的条件为 ________. 【导学号：32750032】 【解析】 P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a ＝(ab－1)2＋(a＋2)2. ∵P>Q，∴P－Q>0， 即(ab－1)2＋(a＋2)2>0， ∴ab≠1 或 a≠－2. 【答案】 ab≠1 或 a≠－2 7．若 x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则 M，N 的大小关 系为________． 【解析】 M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)． ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0， ∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即 M＞N. 【答案】 M＞N 8．已知 a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则 1＋a与 1 1－b 的大小关系是________． 【解析】 ∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab， ∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1. 从而 1＋a 1 1－b ＝ 1＋a1－b＞1， ∴ 1＋a＞ 1 1－b . 【答案】 1＋a＞ 1 1－b 三、解答题 9．已知 a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a. 【证明】 ∵a＞2， 则 a－1＞1， ∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0， 由于logaa－1 loga＋1a ＝loga(a－1)·loga(a＋1) ＜ logaa－1＋logaa＋1 2 2 ＝ logaa2－1 2 2 . ∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2， ∴ logaa2－1 2 2 ＜ logaa2 2 2 ＝1， 因此logaa－1 loga＋1a ＜1. ∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a. 10．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3，a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的大小，并说明理由． 【解】 (1)由题设知 2a3＝a1＋a2， 即 2a1q2＝a1＋a1q. 又 a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或－1 2. (2)若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn－1 2 ＝n2＋3n 2 ＝nn＋3 2 . 当 n≥2 时，Sn－bn＝Sn－1＝n－1n＋2 2 ＞0， 故 Sn＞bn. 若 q＝－1 2 ，则 Sn＝2n＋nn－1 2 · －1 2 ＝－n2＋9n 4 ＝－n－9n 4 . 当 n≥2 时，Sn－bn＝Sn－1＝－n－1n－10 4 ， 故对于 n∈N＋，当 2≤n≤9 时，Sn＞bn； 当 n＝10 时，Sn＝bn； 当 n≥11 时，Sn＜bn. [能力提升] 1．已知 a＞0，b＞0，m＝ a b ＋ b a ， n＝ a＋ b，p＝ a＋b，则 m，n，p 的大小顺序是( ) A．m≥n＞p B．m＞n≥p C．n＞m＞p D.n≥m＞p 【解析】 由已知 m＝ a b ＋ b a ，n＝ a＋ b，得 a＝b＞0 时 m＝n，可否定 B，C.比较 A，D 项，不必论证与 p 的关系．取特值 a＝4，b＝1，则 m＝4＋1 2 ＝ 9 2 ，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除 D. 【答案】 A 2．设 m＞n，n∈N*，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x＞1，则 a 与 b 的大小关系为( ) A．a≥b B．a≤b C．与 x 值有关，大小不定 D.以上都不正确 【解析】 要比较 a 与 b 的大小，通常采用比较法，根据 a 与 b 均为对数表 达式，只有作差，a 与 b 两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出 a 与 b 的大小． a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx ＝(lgmx－lgnx)－ 1 lgnx － 1 lgmx ＝(lgmx－lgnx)－lgmx－lgnx lgmxlgnx ＝(lgmx－lgnx) 1－ 1 lgmxlgnx ＝(lgmx－lgnx) 1－ 1 lgm＋nx . ∵x＞1，∴lg x＞0. 当 0＜lg x＜1 时，a＞b； 当 lg x＝1 时，a＝b； 当 lg x＞1 时，a＞b. ∴应选 A. 【答案】 A 3．一个个体户有一种商品，其成本低于3 500 9 元．如果月初售出可获利 100 元，再将本利存入银行，已知银行月息为 2.5%，如果月末售出可获利 120 元， 但要付成本的 2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)． 【解析】 设这种商品的成本费为 a 元． 月初售出的利润为 L1＝100＋(a＋100)×2.5%， 月末售出的利润为 L2＝120－2%a， 则 L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a ＝0.045 a－3 500 9 ， ∵a＜3 500 9 ，∴L1＜L2，月末出售好． 【答案】 月末 4．若实数 x，y，m 满足|x－m|＜|y－m|，则称 x 比 y 接近 m.对任意两个不相 等的正数 a，b，证明：a2b＋ab2 比 a3＋b3 接近 2ab ab. 【证明】 ∵a＞0，b＞0，且 a≠b， ∴a2b＋ab2＞2ab ab，a3＋b3＞2ab ab. ∴a2b＋ab2－2ab ab＞0， a3＋b3－2ab ab＞0. ∴|a2b＋ab2－2ab ab|－|a3＋b3－2ab ab| ＝a2b＋ab2－2ab ab－a3－b3＋2ab ab ＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b) ＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0， ∴|a2b＋ab2－2ab ab|＜|a3＋b3－2ab ab|， ∴a2b＋ab2 比 a3＋b3 接近 2ab ab.