高二数学上学期期中联考试题 理（含解析） 13页

‎【2019最新】精选高二数学上学期期中联考试题 理（含解析）‎ 高二理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 在中，内角的对边分别为，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理有：，据此可得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎2. 若是等差数列，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等差数列的性质可得：组成一个新的等差数列，‎ 该数列的公差为：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎3. 设，则下列不等式中恒成立的是（ ）‎ - 13 - / 13‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】取，则，选项A错误；‎ 取，则，选项B错误；‎ 取，则，选项D错误；‎ 本题选择C选项.‎ ‎4. 下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“”的否定是：“” B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“若，则”的否命题是：若，则 D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ ‎【答案】D ‎【解析】逐一考查所给命题的真假：‎ A.命题“”的否定是：“”，选项A错误 B.“”是“”的充分不必要条件，选项B错误 C.命题“若，则”的否命题是：若，则，选项C错误 D.命题“若，则”是真命题，则其逆否命题为真命题，该说法正确.‎ 本题选择D选项.‎ ‎5. 在中，如果，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 13 - / 13‎ ‎【解析】由题意可得：，‎ 即：，‎ 本题选择B选项.‎ ‎6. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】很明显数列的公比，‎ 设等比数列的前n项和为，由题意可得：‎ ‎，解得：，‎ 据此有：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.‎ ‎7. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最小值.‎ 本题选择B选项.‎ - 13 - / 13‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎8. 数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等比数列前n项和公式有：，‎ 则：，‎ 则该数列的前n项和为：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9. 若为钝角三角形，三边长分别为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】三边组成三角形，则：，解得：，‎ 对三角形的边长分类讨论：‎ 当最大边长为时，应有：，整理可得：，此时，‎ 当最大边长为时，应有：，整理可得：，此时，‎ 综上可得：的取值范围是.‎ ‎10. 记为自然数的个位数字，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 13 - / 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】很明显数列是以10为周期的函数，‎ 由题意可得：，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 计算可得：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎11. 已知，为正实数，‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则；‎ 上述命题中正确的是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】若，不妨取，此时；说法②错误，排除AB选项，‎ 若，不妨取，此时；说法③错误，排除C选项，‎ - 13 - / 13‎ 本题选择D选项.‎ ‎12. 如图，在面积为的正内作正，使，以此类推，在正内作正，记正的面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可得：‎ ‎，则,‎ 据此有：‎ 进而，‎ 根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：，‎ 即所作三角形的面积构成以1为项,以为公比的等比数列，‎ 据此可得：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ - 13 - / 13‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 不等式的解集是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式即：，‎ 分解因式有：‎ 结合可得，原不等式的解集为 ‎14. 在锐角中，角的对边分别为，若，则的值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：∵，∴ ，，由正弦定理得，．所以 ‎ ．‎ 考点：余弦定理，正弦定理，三角函数的同角关系式．‎ ‎【名师点睛】(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.‎ ‎(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.‎ ‎15. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值集合是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：，对于m的值分类讨论：‎ - 13 - / 13‎ 当时，条件为满足题意，‎ 否则：，则：或，‎ 解得：或，‎ 综上可得：的取值集合是.‎ ‎16. 已知实数等成等差数列，成等比数列，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：，‎ 则，‎ 当时，，当且仅当时等号成立；‎ 当时，，当且仅当时等号成立；‎ 综上可得：的取值范围是.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知.‎ ‎（1）若是充分不必要条件，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ - 13 - / 13‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得命题和命题的的取值范围. 若是的充分不必要条件,等价于命题的的取值的集合是命题的的取值的集合的真子集. （Ⅱ）根据原命题与其逆否命题同真假可知“”是“”的充分不必要条件等价于是的充分不必要条件.即命题的的取值的集合是命题的的取值的集合的真子集.‎ 试题解析：解：：，：‎ ‎⑴∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴是的真子集．‎ ‎ ．‎ ‎∴实数的取值范围为． 6分 ‎⑵∵“非”是“非”的充分不必要条件，‎ ‎∴是的充分不必要条件．‎ ‎ ．‎ ‎∴实数的取值范围为． 12分 考点：充分必要条件.‎ ‎18. 已知等差数列中，公差，又.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列，数列的前项和记为，求.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ - 13 - / 13‎ ‎【解析】(1)由,可建立关于a1和d的方程，求出a1和d,从而求出数列的通项公式.‎ ‎(2)因为,然后采用裂项求和的方法求和即可.‎ ‎19. 已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题为求角，可利用题中的条件A、B、C成等差数列及，，可运用正弦定理，可求出角。‎ ‎（2）由（1）已知角，可借助三角形面积公式求，先运用正弦定理求出所需的边（注意运算途径的选择，可运用余弦定理运算繁琐），可求出面积。‎ 试题解析： ‎ ‎（1）∵A、B、C成等差数列，，又；，‎ 由正弦定理得； ‎ ‎（2）由（1）可得；‎ 由正弦定理可得：，‎ 则由 考点：利用正弦定理进行边角互化解三角形及面积公式和方程思想。‎ ‎20.‎ - 13 - / 13‎ ‎ 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.‎ ‎（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？‎ ‎（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得，而篱笆总长为，利用均值不等式的结论可得菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.‎ ‎(2)由已知得，利用均值不等式可得，则的最小值是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知可得，而篱笆总长为；‎ 又因为，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.‎ ‎（2）由已知得，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.‎ ‎21. 如图所示，甲船由岛出发向北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里/小时，在甲船从岛出发的同时，乙船从岛正南海里处的岛出发，向北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里/小时.‎ - 13 - / 13‎ ‎（1）求小时后甲船到岛的距离为多少海里？‎ ‎（2）若两船能相遇，求.‎ ‎【答案】(1)；(2)（海里/小时）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合余弦定理可得 ‎(2)由题意可得，，两船相遇，则所用时间为小时，（海里/小时）‎ 试题解析：‎ ‎（1）设小时后甲船航行到处，，又 在中，由余弦定理得 ‎（2）设两船在处相遇，‎ 又 在中，由正弦定理得 又由余弦定理得，‎ 两船在处相遇时所用时间为小时 ‎（海里/小时）‎ 点睛：解三角形应用题的一般步骤 ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．‎ - 13 - / 13‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.‎ ‎22. 各项均为正数的数列的前项和为满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，整数，求的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2)2017.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合递推公式分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为；‎ ‎(2)结合(1)的结论可得，裂项求和有 ，则.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ 又 ‎ 时，，而适合 ‎（2）‎ ‎ .‎ ‎.....................‎ - 13 - / 13‎