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  • 2021-06-11 发布

2020高中数学 课时分层作业5 函数的单调性与导数 新人教A版选修2-2

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课时分层作业(五) 函数的单调性与导数 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.如图136是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是 ‎ (  )‎ 图136‎ A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数 D.在区间(3,5)上f(x)是增函数 C [由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上,f′(x)>0,所以函数f(x)在(4,5)上单调递增.故选C.]‎ ‎2.函数y=x+xln x的单调递减区间是(  )‎ ‎ 【导学号:31062041】‎ A.(-∞,e-2)  B.(0,e-2)‎ C.(e-2,+∞) D.(e2,+∞)‎ B [因为y=x+xln x,所以定义域为(0,+∞).‎ 令y′=2+ln x<0,解得00,则cos x<,又x∈(0,π),解得2.则f(x)>2x+4的解集为(  )‎ A.(-1,1)    B.(-1,+∞)‎ C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)‎ B [构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),‎ 则g(-1)=2-(-2+4)=0,又f′(x)>2.‎ ‎∴g′(x)=f′(x)-2>0,∴g(x)是R上的增函数.‎ ‎∴f(x)>2x+4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(-1),‎ ‎∴x>-1.]‎ ‎2.设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f′(x)g(x)-‎ 6‎ f(x)g′(x)<0,则当af(b)g(b)‎ B.f(x)g(a)>f(a)g(x)‎ C.f(x)g(b)>f(b)g(x)‎ D.f(x)g(x)>f(a)g(a)‎ C [因为′=.又因为f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,所以在R上为减函数.又因为a>,又因为f(x)>0,g(x)>0,所以f(x)g(b)>f(b)g(x).因此选C.]‎ ‎3.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是__________.‎ ‎[解析] 若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则y′=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b>0.‎ ‎[答案] (0,+∞)‎ ‎4.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________.‎ ‎[解析] 显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-=.由f′(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为;由f′(x)<0,得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<<k+1,解得-<k<,又因为(k-1,k+1)为定义域内的一个子区间,所以k-1≥0,即k≥1.综上可知,1≤k<.‎ ‎[答案]  ‎5.(1)已知函数f(x)=axekx-1,g(x)=ln x+kx.当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值;‎ ‎(2)已知函数f(x)=x+-2ln x,a∈R,讨论函数f(x)的单调区间.‎ ‎ 【导学号:31062046】‎ ‎[解] (1)当a=1时,f(x)=xekx-1,‎ 6‎ ‎∴f′(x)=(kx+1)ekx,g′(x)=+k.‎ ‎∵f(x)在(1,+∞)上为减函数, ‎ 则∀x>1,f′(x)≤0⇔k≤-,‎ ‎∴k≤-1.‎ ‎∵g(x)在(0,1)上为增函数,‎ 则∀x∈(0,1),g′(x)≥0⇔k≥-,‎ ‎∴k≥-1.‎ 综上所述,k=-1.‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ ‎∴f′(x)=1--=.‎ ‎①当Δ=4+‎4a≤0,即a≤-1时,‎ 得x2-2x-a≥0,‎ 则f′(x)≥0.‎ ‎∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎②当Δ=4+‎4a>0,即a>-1时,‎ 令f′(x)=0,得x2-2x-a=0,‎ 解得x1=1-,x2=1+>0.‎ ‎(ⅰ)若-1<a≤0,则x1=1-≥0,‎ ‎∵x∈(0,+∞),‎ ‎∴f(x)在(0,1-),(1+,+∞)上单调递增,‎ 在(1-,1+)上单调递减.‎ ‎(ⅱ)若a>0,则x1<0,当x∈(0,1+)时,f′(x)<0,当x∈(1+,+∞)时,f′(x)>0,‎ ‎∴函数f(x)在区间(0,1+)上单调递减,‎ 在区间(1+,+∞)上单调递增.‎ 6‎