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- 2021-06-11 发布
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课时分层作业(五) 函数的单调性与导数
(建议用时:40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.如图136是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是
( )
图136
A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数
B.在区间(1,3)上f(x)是减函数
C.在区间(4,5)上f(x)是增函数
D.在区间(3,5)上f(x)是增函数
C [由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上,f′(x)>0,所以函数f(x)在(4,5)上单调递增.故选C.]
2.函数y=x+xln x的单调递减区间是( )
【导学号:31062041】
A.(-∞,e-2) B.(0,e-2)
C.(e-2,+∞) D.(e2,+∞)
B [因为y=x+xln x,所以定义域为(0,+∞).
令y′=2+ln x<0,解得00,则cos x<,又x∈(0,π),解得2.则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
B [构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),
则g(-1)=2-(-2+4)=0,又f′(x)>2.
∴g′(x)=f′(x)-2>0,∴g(x)是R上的增函数.
∴f(x)>2x+4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(-1),
∴x>-1.]
2.设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f′(x)g(x)-
6
f(x)g′(x)<0,则当af(b)g(b)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
C [因为′=.又因为f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,所以在R上为减函数.又因为a>,又因为f(x)>0,g(x)>0,所以f(x)g(b)>f(b)g(x).因此选C.]
3.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是__________.
[解析] 若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则y′=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b>0.
[答案] (0,+∞)
4.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________.
[解析] 显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-=.由f′(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为;由f′(x)<0,得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<<k+1,解得-<k<,又因为(k-1,k+1)为定义域内的一个子区间,所以k-1≥0,即k≥1.综上可知,1≤k<.
[答案]
5.(1)已知函数f(x)=axekx-1,g(x)=ln x+kx.当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值;
(2)已知函数f(x)=x+-2ln x,a∈R,讨论函数f(x)的单调区间.
【导学号:31062046】
[解] (1)当a=1时,f(x)=xekx-1,
6
∴f′(x)=(kx+1)ekx,g′(x)=+k.
∵f(x)在(1,+∞)上为减函数,
则∀x>1,f′(x)≤0⇔k≤-,
∴k≤-1.
∵g(x)在(0,1)上为增函数,
则∀x∈(0,1),g′(x)≥0⇔k≥-,
∴k≥-1.
综上所述,k=-1.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=1--=.
①当Δ=4+4a≤0,即a≤-1时,
得x2-2x-a≥0,
则f′(x)≥0.
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当Δ=4+4a>0,即a>-1时,
令f′(x)=0,得x2-2x-a=0,
解得x1=1-,x2=1+>0.
(ⅰ)若-1<a≤0,则x1=1-≥0,
∵x∈(0,+∞),
∴f(x)在(0,1-),(1+,+∞)上单调递增,
在(1-,1+)上单调递减.
(ⅱ)若a>0,则x1<0,当x∈(0,1+)时,f′(x)<0,当x∈(1+,+∞)时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在区间(0,1+)上单调递减,
在区间(1+,+∞)上单调递增.
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