2020年高中数学第二章推理与证明2 5页

‎2.2.1‎‎ 综合法和分析法 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了(　　)‎ A．分析法 B．综合法 C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法 答案：B ‎2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于(　　)‎ A．b　　　　　　　　 B．－b C. D．－ 解析：f(x)定义域为(－1,1)，‎ f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.‎ 答案：B ‎3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0‎ 解析：0⇔(a－c)(a－b)>0.‎ 答案：C ‎4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到 A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是(　　)‎ A．a2b2＋c2 D．a2≤b2＋c2‎ 解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2b B．ab.‎ 答案：A ‎6．已知sin x＝，x∈(，)，则tan(x－)＝________.‎ 解析：∵sin x＝，x∈(，)，∴cos x＝－ ，‎ ‎∴tan x＝－，∴tan(x－)＝＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎7．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．‎ 解析：a＋b>a＋b⇔a－a>b－b ‎⇔a(－)>b(－)⇔(a－b)(－)>0‎ ‎⇔(＋)(－)2>0，‎ 故只需a≠b且a，b都不小于零即可．‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ 解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，‎ ‎∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，‎ ‎∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ 答案：≤‎ ‎9．设a，b大于0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.‎ 证明：要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，‎ 即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．‎ 又因a＋b>0，‎ 故只需证a2－ab＋b2>ab成立，‎ 即需证a2－2ab＋b2>0成立，‎ 即需证(a－b)2>0成立．‎ 而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．‎ 故原不等式a3＋b3>a2b＋ab2成立．‎ 5‎ ‎10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f(x＋)为偶函数．‎ 证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称．‎ ‎∴f(x＋1)＝f(－x) ，‎ 则y＝f(x)的图象关于x＝对称，‎ ‎∴－＝，∴a＝－b.‎ 则f(x)＝ax2－ax＋c＝a(x－)2＋c－，‎ ‎∴f(x＋)＝ax2＋c－为偶函数．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．设a>0，b>0，若是‎3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)‎ A．8 B．4‎ C．1 D. 解析：是‎3a与3b的等比中项⇒‎3a·3b＝3⇒‎3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝⇒ab≤，‎ 所以＋＝＝≥＝4.‎ 答案：B ‎2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；‎ 若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；‎ 若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；‎ 若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．‎ 答案：B ‎3．如图，在直四棱柱A1B‎1C1D1ABCD 5‎ ‎(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A‎1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．‎ 解析：要证明A‎1C⊥B1D1，‎ 只需证明B1D1⊥平面A‎1C1C，‎ 因为CC1⊥B1D1，‎ 只要再有条件B1D1⊥A‎1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1，‎ 从而得B1D1⊥A‎1C1.‎ 答案：B1D1⊥A‎1C1(答案不唯一)‎ ‎4．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是