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  • 2021-06-11 发布

2020年高中数学第二章推理与证明2

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‎2.2.1‎‎ 综合法和分析法 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.在证明命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”中应用了(  )‎ A.分析法 B.综合法 C.分析法和综合法综合使用 D.间接证法 答案:B ‎2.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)等于(  )‎ A.b         B.-b C. D.- 解析:f(x)定义域为(-1,1),‎ f(-a)=lg=lg()-1=-lg=-f(a)=-b.‎ 答案:B ‎3.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:0 B.a-c>0‎ C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0‎ 解析:0⇔(a-c)(a-b)>0.‎ 答案:C ‎4.在不等边△ABC中,a为最大边,要想得到 A为钝角的结论,对三边a,b,c应满足的条件,判断正确的是(  )‎ A.a2b2+c2 D.a2≤b2+c2‎ 解析:要想得到A为钝角,只需cos A<0,因为cos A=,所以只需b2+c2-a2<0,即b2+c2b B.ab.‎ 答案:A ‎6.已知sin x=,x∈(,),则tan(x-)=________.‎ 解析:∵sin x=,x∈(,),∴cos x=- ,‎ ‎∴tan x=-,∴tan(x-)==-3.‎ 答案:-3‎ ‎7.如果a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是________.‎ 解析:a+b>a+b⇔a-a>b-b ‎⇔a(-)>b(-)⇔(a-b)(-)>0‎ ‎⇔(+)(-)2>0,‎ 故只需a≠b且a,b都不小于零即可.‎ 答案:a≥0,b≥0且a≠b ‎8.设a>0,b>0,则下面两式的大小关系为lg(1+)________[lg(1+a)+lg(1+b)].‎ 解析:∵(1+)2-(1+a)(1+b)=1+2+ab-1-a-b-ab=2-(a+b)=-(-)2≤0,‎ ‎∴(1+)2≤(1+a)(1+b),‎ ‎∴lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)].‎ 答案:≤‎ ‎9.设a,b大于0,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.‎ 证明:要证a3+b3>a2b+ab2成立,‎ 即需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.‎ 又因a+b>0,‎ 故只需证a2-ab+b2>ab成立,‎ 即需证a2-2ab+b2>0成立,‎ 即需证(a-b)2>0成立.‎ 而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立.‎ 故原不等式a3+b3>a2b+ab2成立.‎ 5‎ ‎10.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y=f(x+1)与y=f(x)的图象关于y轴对称,求证:函数y=f(x+)为偶函数.‎ 证明:∵函数y=f(x)与y=f(x+1)的图象关于y轴对称.‎ ‎∴f(x+1)=f(-x) ,‎ 则y=f(x)的图象关于x=对称,‎ ‎∴-=,∴a=-b.‎ 则f(x)=ax2-ax+c=a(x-)2+c-,‎ ‎∴f(x+)=ax2+c-为偶函数.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.设a>0,b>0,若是‎3a与3b的等比中项,则+的最小值为(  )‎ A.8 B.4‎ C.1 D. 解析:是‎3a与3b的等比中项⇒‎3a·3b=3⇒‎3a+b=3⇒a+b=1,因为a>0,b>0,所以≤=⇒ab≤,‎ 所以+==≥=4.‎ 答案:B ‎2.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:若l⊥α,m⊂β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;‎ 若l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;‎ 若l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;‎ 若l⊥α,m⊂β,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.‎ 答案:B ‎3.如图,在直四棱柱A1B‎1C1D1ABCD 5‎ ‎(侧棱与底面垂直)中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A‎1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).‎ 解析:要证明A‎1C⊥B1D1,‎ 只需证明B1D1⊥平面A‎1C1C,‎ 因为CC1⊥B1D1,‎ 只要再有条件B1D1⊥A‎1C1,就可证明B1D1⊥平面A1CC1,‎ 从而得B1D1⊥A‎1C1.‎ 答案:B1D1⊥A‎1C1(答案不唯一)‎ ‎4.如果不等式|x-a|<1成立的充分非必要条件是