2020年高中数学新教材同步必修第二册 章末检测试卷二(第7章) 7页

章末检测试卷二(第七章) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 13 小题，每小题 4 分，共 52 分. 在每小题给出的四个选项中，第 1～ 10 题只有一项符合题目要求；第 11～13 题，有多项符合题目要求，全部选对的得 4 分，选 对但不全的得 2 分，有选错的不得分) 1.复数 i3(1＋i)2 等于( ) A.2 B.－2 C.2i D.－2i 答案 A 解析 i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2. 2.i 是虚数单位，复数7－i 3＋i 等于( ) A.2＋i B.2－i C.－2＋i D.－2－i 答案 B 解析 7－i 3＋i ＝7－i3－i 10 ＝20－10i 10 ＝2－i. 3.复数 z＝ i 1＋i 在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 解析 z＝ i 1＋i ＝1 2 ＋1 2i，对应点在第一象限. 4.设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 由 z＝－3＋2i，得 z ＝－3－2i，对应点(－3，－2)位于第三象限. 5.在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是 1＋2i，－2＋i,0，那么这个 正方形的第四个顶点对应的复数为( ) A.3＋i B.3－i C.1－3i D.－1＋3i 答案 D 解析 在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i. 6.当 z＝－1－i 2 时，z100＋z50＋1 的值等于( ) A.1 B.－1 C.i D.－i 答案 D 解析 z2＝1－i2 2 ＝－i， 则 z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i. 7.已知复数 z＝1－i，则z2－2z z－1 等于( ) A.2i B.－2i C.2 D.－2 答案 B 解析 ∵z＝1－i， ∴z2－2z z－1 ＝－2i－2＋2i 1－i－1 ＝－2 －i ＝－2i. 8.已知 i 为虚数单位，若复数 z＝1－ai 1＋i (a∈R)的虚部为－3，则|z|等于( ) A. 10 B.2 3 C. 13 D.5 答案 C 解析 因为 z＝1－ai 1＋i ＝1－ai1－i 1＋i1－i ＝1－a－a＋1i 2 ＝1－a 2 －a＋1 2 i，所以－a＋1 2 ＝－3，解得 a＝5，所以 z＝－2－3i，所以|z|＝ －22＋－32＝ 13. 9.已知 z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i 为虚数单位，且两复数的乘积 z1z2 的实部和虚部为相等 的正数，则实数 m 的值为( ) A.－4 3 B.4 3 C.－3 4 D.3 4 答案 D 解析 因为 z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i] ＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i， 所以 2－m＝3m－1，即 m＝3 4. 经检验，m＝3 4 能使 2－m＝3m－1>0， 所以 m＝3 4 满足题意. 10.复数 z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为 2，则|z＋2|的最大值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 由已知，(x－2)2＋y2＝4. ∴点(x，y)在以(2,0)为圆心，以 2 为半径的圆上. 又|z＋2|＝|x＋yi|表示点(x，y)到原点的距离. ∴|z＋2|的最大值为圆的直径 4. 11.设 z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i 为虚数单位，则以下结论不正确的是( ) A.z 对应的点在第一象限 B.z 一定不为纯虚数 C. z 对应的点在实轴的下方 D.z 一定为实数 答案 ABD 解析 ∵2t2＋5t－3＝(2t－1)(t＋3)， ∴2t2＋5t－3 的符号可正、可负、可为 0， 又 t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0， ∴不正确的有 A，B，D. 12.下面关于复数 z＝ 2 －1＋i 的四个说法中，正确的有( ) A.|z|＝2 B.z2＝2i C.z 的共轭复数为 1＋i D.z 的虚部为－1 答案 BD 解析 ∵z＝ 2 －1＋i ＝ 2－1－i －1＋i－1－i ＝－1－i， ∴|z|＝ 2，A 不正确； z2＝(－1－i)2＝2i，B 正确； z 的共轭复数为－1＋i，C 不正确； z 的虚部为－1，D 正确. 13.设 z1，z2 是复数，则下列说法中正确的是( ) A.若|z1－z2|＝0，则 z 1＝ z 2 B.若 z1＝ z 2，则 z 1＝z2 C.若|z1|＝|z2|，则 z1· z 1＝z2· z 2 D.若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22 答案 ABC 解析 对于 A，若|z1－z2|＝0，则 z1－z2＝0，z1＝z2，所以 z 1＝ z 2； 对于 B 若 z1＝ z 2，则 z1 和 z2 互为共轭复数，所以 z 1＝z2； 对于 C，设 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则 a21＋b21＝ a22＋b22，z1· z 1＝a21＋b21，z2· z 2 ＝a22＋b22，所以 z1· z 1＝z2· z 2； 对于 D，若 z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|， 而 z21＝1，z22＝－1，所以 z21＝z 22不正确. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分) 14.i 是虚数单位，复数 z 满足(1＋i)z＝2，则 z 的实部为________，|z|＝________. 答案 1 2 解析 因为(1＋i)z＝2， 所以 z＝ 2 1＋i ＝1－i， 所以其实部为 1，|z|＝ 2. 15.若 z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与 z1，z2 对应的点分别为 Z1，Z2，则 Z1，Z2 的距离为 ________. 答案 2 5 解析 由 z1＝1－i，z2＝3－5i 知 Z1(1，－1)，Z2(3，－5)， 由两点间的距离公式得， d＝ 3－12＋－5＋12＝2 5. 16.若复数 z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数 z 所对应的向量互相垂直，则 a＝________. 答案 ±1 解析 z ＝a－i，因为复数 z 与它的共轭复数 z 所对应的向量互相垂直，所以 a2＝1，所以 a ＝±1. 17.已知复数 z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，则 z1·z2 的实部最大值为________，虚部最大值为 ________. 答案 3 2 2 解析 z1·z2＝(cos θ－i)·(sin θ＋i) ＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ) 实部 cos θsin θ＋1＝1＋1 2sin 2θ≤3 2 ，最大值为3 2 ， 虚部 cos θ－sin θ＝ 2cos θ＋π 4 ≤ 2，最大值为 2. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 82 分) 18.(12 分)已知复数 z1＝2－3i，z2＝15－5i 2＋i2.求： (1)z1z2；(2)z1 z2 . 解 z2＝15－5i 2＋i2 ＝15－5i 3＋4i ＝15－5i3－4i 3＋4i3－4i ＝25－75i 25 ＝1－3i， 则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)z1 z2 ＝2－3i 1－3i ＝2－3i1＋3i 1－3i1＋3i ＝11＋3i 10 ＝11 10 ＋ 3 10i. 19.(12 分)已知复数 z 满足(1＋2i) z ＝4＋3i. (1)求复数 z； (2)若复数(z＋ai)2 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵(1＋2i) z ＝4＋3i， ∴ z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i1－2i 1＋2i1－2i ＝10－5i 5 ＝2－i，∴z＝2＋i. (2)由(1)知 z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i， ∵复数(z＋ai)2 在复平面内对应的点在第一象限， ∴ 4－a＋12>0， 4a＋1>0， 解得－10， 3a－1 10 <0， 解得 a>－3， a<1 3 ， ∴实数 a 的取值范围是－3