2019年高考数学高分突破复习练习专题六 第2讲 13页

第2讲　基本初等函数、函数与方程 高考定位　1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.‎ 真 题 感 悟 ‎ 1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)‎ A.－ B. C. D.1‎ 解析　f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，‎ 则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.‎ ‎∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，‎ ‎∴函数g(t)为偶函数.‎ ‎∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.‎ 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，‎ ‎∴2a－1＝0，解得a＝.‎ 答案　C ‎2.(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　c＝log＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c>a>1.又b＝ln 2<1，故c>a>b.‎ 答案　D ‎3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A.[－1，0) B.[0，＋∞)‎ C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)‎ 解析　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.‎ 答案　C ‎4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.‎ 解析　一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.‎ 答案　30‎ 考 点 整 合 ‎1.指数式与对数式的七个运算公式 ‎(1)am·an＝am＋n；‎ ‎(2)(am)n＝amn；‎ ‎(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎(4)loga＝logaM－logaN；‎ ‎(5)logaMn＝nlogaM；‎ ‎(6)alogaN＝N；‎ ‎(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).‎ ‎2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当00，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)‎ ‎(2)(2018·济南质检)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝在R上有最大值，则a的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D.∪ 解析　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，‎ ‎∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，‎ 又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.‎ 因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.‎ ‎(2)∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，‎ ‎∴∴a≤－，∵a(a＋1)≠0，‎ ‎∴|a|∈∪(1，＋∞).当x≤时，g(x)＝4x∈(0，2]，又g(x)＝在R上有最大值，则当x>时，log|a|x≤2，且|a|∈，∴log|a|≤2，∴|a|2≤，则|a|≤，又a≤－，∴－≤a≤－.‎ 答案　(1)B　(2)A 探究提高　1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.‎ ‎2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件.‎ ‎【训练1】 (1)函数y＝ln |x|－x2的图象大致为(　　)‎ ‎(2)(2018·西安调研)设函数f(x)＝则满足f[f(t)]＝2f(t)的t的取值范围是________.‎ 解析　(1)易知y＝ln|x|－x2是偶函数，排除B，D.当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.A项满足.‎ ‎(2)若f(t)≥1，显然成立，则有或 解得t≥－.‎ 若f(t)<1，由f[f(t)]＝2f(t)，可知f(t)＝－1，‎ 所以t＋＝－1，得t＝－3.‎ 综上，实数t的取值范围是.‎ 答案　(1)A　(2) 热点二　函数的零点与方程 考法1　确定函数零点个数或其存在范围 ‎【例2－1】 (1)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　)‎ A. B. C.(1，2) D.(2，3)‎ ‎(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________.‎ 解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.‎ f ＝log2－＝－1－2＝－3＜0，‎ f(1)＝log21－＝0－1＜0，‎ f(2)＝log22－＝1－＝＞0，‎ f(3)＝log23－＞1－＝＞0，即f(1)·f(2)＜0，‎ ‎∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.‎ ‎(2)由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.‎ 答案　(1)C　(2)3‎ 探究提高　1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.‎ ‎2.判断函数零点个数的主要方法：‎ ‎(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；‎ ‎(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.‎ ‎【训练2】 函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.‎ 解析　f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：‎ 由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.‎ 答案　2‎ 考法2　根据函数的零点求参数的取值或范围 ‎【例2－2】 (2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________.‎ 解析　当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x>0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝ 作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a<<2a，解得40)的交点个数问题：常见的错误是误认为y＝2a，y＝a是两条直线，忽视x的限制条件.‎ ‎2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.‎ ‎【训练3】 (2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________.‎ 解析　令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.‎ 答案　－ 热点三　函数的实际应用 ‎【例3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.‎ ‎(1)求k的值及f(x)的表达式；‎ ‎(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.‎ 解　(1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，‎ ‎∴C(x)＝(0≤x≤10)，‎ ‎∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.‎ 令3x＋5＝t，t∈[5，35]，‎ 则y＝2t＋－10≥2－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，‎ 此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.‎ ‎∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.‎ 探究提高　解决函数实际应用题的两个关键点 ‎(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.‎ ‎(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.‎ ‎【训练4】 (2018·大连质检)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　)‎ A.5海里 B. 海里 C.5海里 D.10海里 解析　设中转站M到B处的距离为x海里，修造管道的费用为y，陆地上单位长度修建管道的费用为a，依题意，y＝a(3＋100－x)，0≤x≤100，则y′＝a＝a.令y′＝0，得3x＝，解得x＝.∴当x＝时，y取得最小值.‎ 答案　B ‎1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0，且a≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.‎ ‎2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.‎ ‎(2)零点存在性定理注意两点：‎ ‎①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.‎ ‎3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：‎ ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.‎ ‎(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：‎ ‎(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.‎ ‎(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.‎ ‎(3)构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.‎ 一、选择题 ‎1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)‎ ‎(参考数据：lg 3≈0.48)‎ A.1033 B.1053 C.1073 D.1093‎ 解析　M≈3361，N≈1080，≈，‎ 则lg≈lg＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴≈1093.‎ 答案　D ‎2.(2018·潍坊三模)已知a＝，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.a1.因此c>b>a.‎ 答案　A ‎3.函数f(x)＝ln x＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(　　)‎ A. B. C.(1，e) D.(e，＋∞)‎ 解析　函数f(x)＝ln x＋ex在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点.‎ 当x→0＋时，f(x)→－∞；又f ＝ln＋e＝e－1>0，‎ ‎∴函数f(x)＝ln x＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.‎ 答案　A ‎4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)‎ A.a＋b0，b<0，所以ab<0，所以ab4.‎ 答案　(1，3]∪(4，＋∞)‎ ‎7.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为________.‎ 解析　∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，‎ ‎∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，‎ 可得n＝ln，∴f(t)＝a·，‎ 因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，‎ f(k)＝a·＝a，即＝，‎ ‎∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.‎ 答案　5‎ ‎8.(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是________.‎ 解析　在同一坐标系内，作函数y＝f(x)与y＝ax的图象，当y＝ax是y＝ln x的切线时，设切点P(x0，y0)，∵y0＝ln x0，a＝(ln x)′|x＝x0＝，∴y0＝ax0＝1＝ln x0，x0＝e，故a＝.故y＝ax与y＝f(x)的图象有三个交点时，01时，由f(x)＝3f(2)＝3得x＋1＝27，即x＝26.‎ 当x≤1时，由f(x)＝3得5－x＝8，即x＝－3.‎ 故方程f(x)＝3f(2)的解集为{－3，26}.‎ ‎(2)当x>1时，f(x)＝log3(x＋1)递增，且f(x)∈(log32，＋∞).‎ 当x≤1时，f(x)＝log2(5－x)递减，且f(x)∈[2，＋∞).‎ 由g(x)＝f(x)－a＝0得f(x)＝a，‎ 故当a∈(－∞，log32]时，g(x)的零点个数为0；‎ 当a∈(log32，2)时，g(x)的零点个数为1；‎ 当a∈[2，＋∞)时，g(x)的零点个数为2.‎ ‎10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.‎ ‎(1)求出a，b的值；‎ ‎(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？‎ 解　(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，‎ 即a＋b＝0；‎ 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，‎ 故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.‎ 解方程组得 ‎(2)由(1)知，v＝－1＋log3.‎ 所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，‎ 即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.‎ 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.‎ ‎11.(2018·江苏卷选编)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0∈R ‎，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.‎ ‎(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x－2不存在“S点”；‎ ‎(2)若函数f(x)＝ax2－1与g(x)＝ln x存在“S点”，求实数a的值.‎ ‎(1)证明　函数f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2，‎ 则f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2.‎ 由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得 此方程组无解，‎ 因此，f(x)与g(x)不存在“S点”.‎ ‎(2)解　函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln x，‎ 则f′(x)＝2ax，g′(x)＝.‎ 设x0为f(x)与g(x)的“S点”，‎ 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得 即　(*)‎ 得ln x0＝－，即x0＝e－，则a＝＝.‎ 当a＝时，x0＝e－满足方程组(*)，‎ 即x0为f(x)与g(x)的“S点”.‎ 因此，a的值为.‎