2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1 42页

第 1 课时　集合的含义 必备知识 · 自主学习 1. 元素与集合 (1) 元素 (2) 集合 (3) 集合中元素的特性 _______ 、 _______ 和无序性 . 【 思考 】 集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？ 提示： 集合中的 “ 研究对象 ” 所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、 点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等 . 确定性 互异性 2. 元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果 a 是集合 A 的元素， 就说 a 属于集合 A _____ a 属于集合 A 不属于 如果 a 不是集合 A 中的元 素，就说 a 不属于集合 A ____ a 不属于集合 A a∈A a∉A 【 思考 】 元素与集合之间有第三种关系吗？ 提示： 对于一个元素 a 与一个集合 A 而言，只有 “ a∈A ” 与 “ a∉A ” 这两种结果 . 3. 常见的数集及表示符号 数集 非负整数集 ( 自然数集 ) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 __ ______ Z __ R N N * 或 N + Q 【 思考 】 N 与 N + ( 或 N * ) 有何区别？ 提示： N + ( 或 N * ) 是所有正整数组成的集合，而 N 是由 0 和所有的正整数组成的集合，所以 N 比 N + ( 或 N * ) 多一个元素 0. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 在一个集合中可以找到两个相同的元素 . ( 　　 ) (2) 高中数学新教材人教 A 版第一册课本上的所有难题能组成集合 . ( 　　 ) (3) 由方程 x 2 -4=0 和 x-2=0 的根组成的集合中有 3 个元素 . ( 　　 ) (4) 元素 1 ， 2 ， 3 和元素 3 ， 2 ， 1 组成的集合是不相等的 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 集合中的元素是互不相同的 . (2)×. “ 难题 ” 没有严格的标准，所以不能构成集合 . (3) ×. 由于集合中的元素具有互异性，故由两方程组成的集合有 2 个元素 . (4)×. 集合中的元素具有无序性，所以元素 1 ， 2 ， 3 和元素 3 ， 2 ， 1 组成的集合是相等的 . 2.( 教材二次开发：练习改编 ) 下列关系中，正确的个数为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① ∈ R.② ∉Q.③|-3|∈N.④- ∈Z. A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 D. 是实数， 是无理数， |-3|=3 是非负整数， - =-3 是整 数，故①②③④均正确 . 3. 已知集合 A 含有三个元素 0 ， 1 ， x-2 ，则实数 x 不能取的值是 _______.  【 解析 】 根据集合中元素的互异性可知： x-2≠0 且 x-2≠1 ，所以实数 x 不能取的值是 2 ， 3. 答案： 2 ， 3 关键能力 · 合作学习 类型一　元素与集合的相关概念 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 下列每组对象，能构成集合的是 ( 　　 ) ① 中国最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于 3 的自然数； ④援助湖北抗击新冠疫情的医护人员 . A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 2. 下列研究对象组成的总体： ①不超过 50 的正整数；②中国的大城市；③绝对值最小的实数；④你班中考成绩在 500 分以上的学生；⑤ sin 30° ， sin 45° ， cos 60° ， 1 ，其中为集合的是 _______.  【 解析 】 1. 选 B.① 中 “ 最美 ” 标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合 . 2.① 不超过 50 的正整数的全体是确定的，能构成集合； ②中国的大城市是不确定的，不能构成集合；③绝对值最小的实数是 0 ，确定，能构成集合；④你班中考成绩在 500 分以上的学生的全体是确定的，能构成集合；⑤由于 sin 30°=cos 60° ，不满足互异性，不能构成集合 . 答案： ①③④ 【 解题策略 】 判断一组对象能否组成集合的策略 (1) 注意集合中元素的确定性 . 看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合 . (2) 注意集合中元素的互异性、无序性 . 【 补偿训练 】 下列对象能构成集合的是 ( 　　 ) A. 高一年级较胖的学生 B. 鲜艳的颜色 C. 很大的自然数 D. 平面内到△ ABC 三个顶点距离相等的点 【 解析 】 选 D. 由于 “ 较胖 ”“ 很大 ” 和 “ 鲜艳 ” 没有一个确定的标准，因此 A ， B ， C 不能构成集合； D 中平面内到△ ABC 三个顶点距离相等的点是确定的，能构成集合 . 【 题组训练 】 1. 下列元素与集合的关系表示正确的是 ( 　　 ) ①0∈N * .② ∉Z.③ ∈Q.④π∈Q. A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 2. 由形如 x=3k+1 ， k∈Z 的数组成集合 A ，则下列表示正确的是 ( 　　 ) A.-1∈A B.-11∈A C.15∈A D.32∈A 类型二　元素与集合的关系 ( 逻辑推理 ) 3. 已知集合 A 含有三个元素 2 ， 4 ， 6 ，且当 a∈A 时，有 6-a∈A ，那么 a 为 ( 　　 ) A.2 B.2 或 4 C.4 D.0 【 解析 】 1. 选 B.①0 不是正整数，所以 0∈N * 错误； ② 是无理数，所以 ∉ Z 正确；③ 是有理数，所以 ∈ Q 正确；④ π 是无理数，所以 π∈Q 错误； 所以表示正确的为②③ . 2. 选 B. 由题干知集合 A 中的数为 3 的整数倍加 1 ，选项 A ， C ， D 均不符合题意 . 因为 -11=3×(-4)+1 ，所以 -11∈A. 3. 选 B. 集合 A 含有三个元素 2 ， 4 ， 6 ，且当 a∈A 时，有 6-a∈A ， a=2∈A ， 6-a =4∈A ，所以 a=2 ，或者 a=4∈A ， 6-a=2∈A ，所以 a=4. 综上所述， a=2 或 4. 【 解题策略 】 判断元素和集合关系的两种方法 (1) 直接法 . ① 使用前提：集合中的元素是直接给出的； ②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可 . (2) 推理法 . ① 使用前提：对于某些不便直接表示的集合； ②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 . 【 补偿训练 】 1. 用符号“∈”或“∉”填空 . - _______R ； -3.14_______Q ；  -1_______N ； 3 -2 _______Z.  【 解析 】 根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知， - ∈R ； -3.14∈Q ； -1∉N ； 3 -2 ∉Z. 答案： ∈　∈　∉　∉ 2. 由不超过 5 的实数组成集合 A ， a= + ，则 ( 　　 ) A.a∈A 　　　　　 　 B.a 2 ∈A C. ∉A D.a+1∉A 【 解析 】 选 A.a= + < + =4<5 ， 所以 a∈A. a+1< + +1=5 ， 所以 a+1∈A ， a 2 =( ) 2 +2 × +( ) 2 =5+2 >5 ， 所以 a 2 ∉A ， = = = - <5 ， 所以 ∈ A. 类型三　集合中元素的特性的应用 ( 逻辑推理、数学运算 ) 　角度 1 　与元素和集合关系有关的问题  【 典例 】 (2020· 滁州高一检测 ) 设 A 为实数集，且满足条件：若 a∈A ，则 ∈ A(a≠1). 求证： (1) 若 2∈A ，则 A 中必还有另外两个元素 . (2) 集合 A 不可能是单元素集 . 【 思路导引 】 (1) 依据 a∈A ，则 ∈ A(a≠1) ，求集合 A 中的元素，同时注 意集合中元素的互异性 . (2) 转化为判断 a= 是否有实数解 . 【 证明 】 (1) 若 a∈A ，则 ∈ A. 又因为 2∈A ，所以 =-1∈A. 因为 -1∈A ，所以 = ∈A. 因为 ∈ A ，所以 =2∈A. 根据集合中元素的互异性可知， A 中另外两个元素为 -1 ， ，结论得证 . (2) 若 A 为单元素集，则 a= ， 即 a 2 -a+1=0 ，方程无实数解 . 所以 a≠ ，所以集合 A 不可能是单元素集 . 【 变式探究 】 本例前提条件不变，求证以下两个问题： (1) 若 3∈A ，则 A 中必还有另外两个元素 . (2) 若 a∈A ，则 1- ∈A. 【 证明 】 (1) 因为 3∈A ，所以 =- ∈A ， 所以 = ∈A ，所以 =3∈A ， 根据集合中元素的互异性可知， A 中另外两个元素为 - ， ，结论 得证 . (2) 因为 a∈A ，所以 ∈ A ， 所以 = =1- ∈A. 　角度 2 　与集合相等有关的问题  【 典例 】 设 a ， b∈R ，集合 A 中含有三个元素 a ， ， 1 ，集合 B 中含有三个元 素 a 2 ， a+b ， 0 ，且 A=B ，求 a ， b 的值 . 【 思路导引 】 由 A=B 寻找等量关系，求 a ， b 的值，注意用集合中元素的互异性 检验 . 【 解析 】 因为 A=B ，所以 =0 ，所以 b=0 ，进而可得 a 2 =1 ， 由集合中元素的互异性，得 a≠1. 所以 a=-1 ， b=0. 【 解题策略 】 1. 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 2. 集合相等的注意点 若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定 按顺序对应相等 . 【 题组训练 】 1. 已知 2a∈A ， a 2 -a∈A ，若 A 只含这两个元素，则下列说法中正确的是 ( 　　 ) A.a 可取全体实数 B.a 可取除去 0 以外的所有实数 C.a 可取除去 3 以外的所有实数 D.a 可取除去 0 和 3 以外的所有实数 【 解析 】 选 D. 因为 2a∈A ， a 2 -a∈A ，所以 2a≠a 2 -a. 所以 a(a-3)≠0. 所以 a≠0 且 a≠3. 2. 已知集合 A 中含有两个元素 x ， y ，集合 B 中含有两个元素 0 ， x 2 ，若 A=B ，求实数 x ， y 的值 . 【 解析 】 因为集合 A ， B 相等，则 x=0 或 y=0. (1) 当 x=0 时， x 2 =0 ，则不满足集合中元素的互异性，故舍去 . (2) 当 y=0 时， x=x 2 ，解得 x=0 或 x=1. 由 (1) 知 x=0 应舍去 . 综上知： x=1 ， y=0. 【 补偿训练 】 已知集合 A 含有两个元素 a-3 和 2a-1 ， (1) 若 -3∈A ，试求实数 a 的值 . (2) 若 a∈A ，试求实数 a 的值 . 【 解析 】 (1) 因为 -3∈A ， 所以 a-3=-3 或 2a-1=-3. 若 a-3=-3 ，则 a=0. 此时集合 A 含有两个元素 -3 ， -1 ，符合题意 . 若 2a-1=-3 ，则 a=-1. 此时集合 A 含有两个元素 -4 ， -3 ，符合题意 . 综上所述，满足题意的实数 a 的值为 0 或 -1. (2) 因为 a∈A ，所以 a-3=a 或 2a-1=a. 当 a-3=a 时，有 -3=0 ，不成立 . 当 2a-1=a 时，有 a=1 ，此时 A 中有两个元素 -2 ， 1 ，符合题意 . 综上知 a=1. 1.( 教材二次开发：练习改编 ) 下列各组对象不能构成一个集合的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 不超过 20 的非负实数 B. 方程 x 2 -9=0 在实数范围内的解 C. 的近似值 D. 某校身高超过 170 厘米的同学 课堂检测 · 素养达标 【 解析 】 选 C.A 项，不超过 20 的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序 性，能构成一个集合 .B 项，方程 x 2 -9=0 在实数范围内的解，元素具有确定性、 互异性、无序性，能构成一个集合 .C 项， 的近似值，元素不具有确定性， 不能构成一个集合 .D 项，某校身高超过 170 厘米的同学，元素具有确定性、互 异性、无序性，能构成一个集合 . 2. 设 M 是所有偶数组成的集合，则 ( 　　 ) A.3∈M B.1∈M C.2∈M D.0∉M 【 解析 】 选 C. 因为 2 是偶数，所以 2 是集合 M 中的元素，即 2∈M. 3. 英文短语“ open the door to...” 中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是 ( 　　 ) A.7 B.8 C.9 D.10 【 解析 】 选 B. 根据集合中元素的互异性可知， “ open the door to... ” 中的不同字母共有 “ o ， p ， e ， n ， t ， h ， d ， r ” 8 个，故该集合的元素个数为 8. 4. 下列表述正确的是 _______ 　 .( 填序号 )  (1)0∈N. (2) ∈Z. (3) ∈Z. (4)π∉Q. 【 解析 】 因为 N 、 Z 、 Q 分别表示自然数集、整数集、有理数集 .0 是自然数， 不是整数， 不是整数， π 不是有理数，所以 0∈N 和 π∉Q 正确 . 答案： (1) ， (4) 5. 设集合 A 中含有三个元素 3 ， x ， x 2 -2x. (1) 求实数 x 应满足的条件 . (2) 若 -2∈A ，求实数 x. 【 解析 】 (1) 由集合中元素的互异性可知， x≠3 ，且 x≠x 2 -2x ， x 2 -2x≠3. 解之得 x≠-1 且 x≠0 ，且 x≠3. (2) 因为 -2∈A ，所以 x=-2 或 x 2 -2x=-2. 由于 x 2 -2x=(x-1) 2 -1≥-1 ，所以 x=-2. 集合的含义 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 集合的定义 元素的性质 集合相等的含义 判断集合时，要明确集合中元素的特征及范围 用集合中元素的性质进行求解 分类讨论思想在求参数时的应用 求集合中的元素时， 注意元素互异性的检验 数学抽象：通过自然语言到数学符号语言的转化，培养数学抽象的核心素养 确定性 无序性 互异性