高考数学模拟试卷 2 (12) 12页

- 1 - 荆州市 2018 届高三年级质量检查（Ⅲ） 数学（理工农医类）(28) 第Ⅰ卷 选择题（60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.设全集U R ，集合 { |1 3}A x x   ， { | 2 3 0}B x x   ，则 ( )UA C B  （ ） A． 3( , )2  B． (1, ) C． 3(1, )2 D． 3[ ,3)2 2.若复数 2 1 ( 1)z m m i    是纯虚数，其中 m 是实数，则 2 z  （ ） A．i B． i C． 2i D． 2i 3.下列命题正确的是（ ） A．命题“ p q ”为假命题，则命题 p 与命题 q 都是假命题； B．命题“若 x y ，则sin sinx y ”的逆否命题为真命题； C．“ 2 2am bm ”是“ a b ”成立的必要不充分条件； D．命题“存在 0x R ，使得 2 0 0 1 0x x   ”的否定是：“对任意 x R ，均有 2 1 0x x   ”. 4.已知随机变量 (1,1)N  ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形OABC 中随机投 掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ） 注：   68.26%P          ，  2 2 95.44%P          . A．6038 B．6587 C．7028 D．7539 5.已知数列 na 满足 15 25 5n na a   ，且 2 4 6 9a a a   ，则  1 5 7 9 3 log a a a   （ ） A．-3 B．3 C． 1 3  D． 1 3 6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵” 1 1 1ABC A B C - 2 - 的所有顶点都在球 O 的球面上，且 1AB AC  ，若球O 的表面积为3 ，则这个三棱柱的 体积是（ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D．1 7.偶函数  f x 和奇函数  g x 的图象如图所示，若关于 x 的方程    1f g x  ，    2g f x  的实根个数分别为 m 、 n ，则 m n  （ ） A．16 B．14 C．12 D．10 8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 9.已知  6 7 0 1 71 x a x a a x a x     ，若 0 1 7 0a a a   ，则 3a  （ ） A．-5 B．-20 C．15 D．35 10.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ） - 3 - A．8 4 2 B．12 4 2 2 3  C． 6 4 2 2 3  D．12 11.已知双曲线C ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，O 为坐标原点， 以 1 2F F 为直径的圆 O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P 、Q ，点 B 为圆O 与 y 轴正半轴的交点，若 2POF QOB   ，则双曲线C 的离心率为（ ） A．3 5 B． 3 5 2  C．1 5 D．1 5 2  12.已知函数   2 lnxf x e x x   与函数   22xg x e x ax   的图象上存在关于 y 轴对称 的点，则实数 a 的取值范围为（ ） A． , e  B． 1, e      C． , 1  D． 1, 2      第Ⅱ卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卷的横线上. 13.平面向量 (2, )a  ， ( 3,1)b   ，若向量 a  与b  共线，则 a b   ． 14.设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点与抛物线 2 16y x 的焦点相同，离心率为 6 3 ，则 此椭圆的方程为 ． 15.已知 x ， y 满足不等式组 2 0 3 0 2 3 0 y x x y x y           ，若不等式 7ax y  恒成立，则实数 a 的取值 范围是 ． 16.设数列 na 满足 0 1 2a  ，   2 1 0,1,22018 n n n aa a n     ，若使得 11k ka a   ，则正整 - 4 - 数 k  ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知向量  2 sin 2 , 2 cos2a x x ，  cos ,sin ( )2b     ，若 ( )f x a b   ，且函 数 ( )f x 的图象关于直线 6x  对称. （Ⅰ）求函数 ( )f x 的解析式，并求 ( )f x 的单调递减区间； （Ⅱ）在 ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 ( ) 2f A  ，且 5b  ， 2 3c  ， 求 ABC 外接圆的面积. 18.如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ， 1 2AC BC AA   ，点 P 为棱 1 1B C 的中点，点Q 为线段 1A B 上一动点. （Ⅰ）求证：当点 Q 为线段 1A B 的中点时， PQ  平面 1A BC ； （Ⅱ）设 1BQ BA  ，试问：是否存在实数  ，使得平面 1A PQ 与平面 1B PQ 所成锐二面角 的余弦值为 30 10 ？若存在，求出这个实数  ；若不存在，请说明理由. 19.手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看 到朋友圈里好友的步数.小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了 其中 30 名，其中男女各 15 名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：  0,2500  2500,5000  5000,7500  7500,10000  10000, 步 数性 别 - 5 - 男 0 2 4 7 2 女 1 3 7 3 1 （Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取 3 名，其中走路步数低于 7500 步的有 X 名，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过 7500 步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否 则为“消极型”.根据题意完成下面的 2 2 列联表，并据此判断能否有95% 以上的把握认为 “评定类型”与“性别”有关？ 积极型 消极型 总计 男 女 总计 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      . 2 0( )P K k 0.10 0.05 0.025 0.01 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 20.已知倾斜角为 4  的直线经过抛物线  ： 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F ，与抛物线  相交于 A 、 B 两点，且 8AB  . （Ⅰ）求抛物线  的方程； （Ⅱ）过点 (12,8)P 的两条直线 1l 、 2l 分别交抛物线  于点C 、D 和 E 、F ，线段CD 和 EF 的中点分别为 M 、 N .如果直线 1l 与 2l 的倾斜角互余，求证：直线 MN 经过一定点. 21.已知函数   lnf x ax x  . （Ⅰ）讨论  f x 的单调性； （Ⅱ）若 2 1,a e       ，求证：   12 axf x ax xe   . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] - 6 - 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为 2 2, 4      ，半径为 2 2 .以极点为原点，极轴方向为 x 轴 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为 1 3 1 x ta y t       （t 为 参数， a R 且 0a  ）. （Ⅰ）写出圆 C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于 A 、 B 两点，求 AB 的最小值. 23.[选修 4-5：不等式选讲] 设不等式 1 1 2x x    的解集为 A . （Ⅰ）求集合 A ； （Ⅱ）若 m A  ，不等式 2 2 1 0mx x m    恒成立，求实数 x 的取值范围. - 7 - 荆州市 2018 届高三年级质量检查（Ⅲ） 数学（理科）参考答案(28) 一、选择题 1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC 二、填空题 13. 20 3  14. 2 2 124 8 x y  15. [ 4,3] 16. 2018 三、解答题 17.解：（Ⅰ） ( ) 2 sin 2 cosf x a b x     2 cos2 sin 2 sin(2 )x x    ， ∵函数 ( )f x 的图象关于直线 6x  对称，∴ 2 6 2k      ， k Z ， ∴ 6k    ， k Z ，又 2   ，∴ 6   . ∴ ( ) 2 sin(2 )6f x x   . ∵函数 siny x 的单调递减区间为 32 ,22 2k k       ， k Z . 令 32 2 ,26 2 2x k k          ，∴ 2,6 3x k k        . ∴ ( )f x 的单调递减区间为 2,6 3k k       ， k Z . （Ⅱ）∵ ( ) 2 sin(2 ) 26f A A    ，∴sin(2 ) 16A   . ∵ (0, )A  ，∴ 132 ,6 6 6A        ，∴ 2 6 2A    ，∴ 6A  . 在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   25 12 2 5 2 3 cos 76       ， ∴ 7a  . 由正弦定理得 72 1sin 2 a RA   ，∴ 7R  ，∴ 7S  . 18.（Ⅰ）证明：法 1：连接 1AB 、 1AC ，显然 A 、Q 、 1B 三点共线. - 8 - ∵点 P 、Q 分别为 1 1B C 和 1A B 的中点，∴ 1/ /PQ AC ； 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ，∴ BC  平面 1 1ACC A ，∴ 1BC AC ， 又 1AC AA ，∴四边形 1 1ACC A 为正方形，∴ 1 1AC AC ， ∵ 1AC 、 BC  平面 1 1ACC A ，∴ 1AC  平面 1A BC ， 而 1/ /PQ AC ，∴ PQ  平面 1A BC . 法 2：（用向量法同等给分）. （Ⅱ）解：以 C 为原点，分别以CA 、CB 、 1CC 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 连接 1A P 、 1B Q ，设 ( , , )Q x y z ， ∵ 1BQ BA  ，∴ ( , 2, ) (2, 2,2)x y z    ，∴ 2 2 2 2 x y z          ，∴ (2 ,2 2 ,2 )Q    . 当点Q 在线段 1A B 上运动时，∴平面 1A PQ 的法向量即为平面 1A PB 的法向量， 设平面 1A PB 的法向量为 1 ( , , )n x y z ，由 1 1 1 0 0 n BP n PA          得 2 0 2 0 x y y z      ， 令 2y  得 1 (1,2,1)n  ， 设平面 1B PQ 的法向量为 2 ( , , )n x y z ，由 2 1 2 1 0 0 n PB n B Q          得 0 ( 1) 0 y x z       ， 令 1z  得 2 1 1( ,0,1) (1 ,0, )n        ，取 2 (1 ,0, )n    ， ∵ 1 2 2 2 (1,2,1) (1 ,0, )cos , 6 (1 ) n n            2 1 30 106 2 2 1      ， ∴ 29 9 2 0    ，∴ 1 3   或 2 3   . 19.解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取 1 名，其中走路步数低于 7500 的概率为 6 2 15 5  . X 可能取值分别为 0，1，2，3， ∴ 0 0 3 3 2 3 27( 0) ( ) ( )5 5 125P X C   ， 1 1 2 3 2 3 54( 1) ( ) ( )5 5 125P X C   ， 2 2 1 3 2 3 36( 2) ( ) ( )5 5 125P X C   ， 3 3 0 3 2 3 8( 3) ( ) ( )5 5 125P X C   ， - 9 - 积极型 消极型 总计 男 9 6 15 女 4 11 15 总计 13 17 30 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 则 27 54( ) 0 1125 125E X     36 8 62 3125 125 5      . （Ⅱ）完成 2 2 列联表 2k 的观测值 2 0 30(9 11 6 4) 15 15 13 17k       750 3.394 3.841221    . 据此判断没有95% 以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 20.解：（Ⅰ）由题意可设直线 AB 的方程为 2 py x  ，令 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y . 联立 2 2 2 py x y px      得 2 2 3 04 px px   ，∴ 1 2 3x x p  ， 根据抛物线的定义得，又 1 2 4AB x x p p    ，又 8AB  ，∴ 4 8p  ，∴ 2p  . 则此抛物线的方程为 2 4y x . （Ⅱ）设直线 1l 、 2l 的倾斜角分别为 、  ，直线 1l 的斜率为 k ，则 tank  . 由于直线 1l 与 2l 的倾斜角互余，则 sin( )2tan tan( )2 cos( )2           cos 1 1 sinsin tan cos        ， 则直线 2l 的斜率为 1 k . 于是直线 CD 的方程为 8 ( 12)y k x   ，即 ( 12) 8y k x   ， 联立 2 ( 12) 8 4 y k x y x      得 2 4 32 48 0ky y k    ，∴ 4 C Dy y k   ， - 10 - 则 2 4 1624C Dx x k k     ，∴ 2 2 8 2(12 , )M k k k   ， 同理将 k 换成 1 k 得： 2(12 2 8 ,2 )N k k k  ， ∴ 2 2 12( ) 1 12( ) 8( ) MN kkk k kk k      1 1 4kk    . 则直线 MN 的方程为 212 [ (12 2 8 )]1 4 y k x k k kk        ， 即 1 4 10k y xk        ，显然当 10x  ， 0y  . 所以直线 MN 经过定点 (10,0) . 21.解：（Ⅰ） 1 1'( ) axf x a x x    ， ∵ 0a  ， '( ) 0f x  在 (0, ) 上恒成立，即  f x 在 (0, ) 上单调递减. 当 0a  时，由 '( ) 0f x  ，得 1x a  ；由 '( ) 0f x  ，得 10 x a   ； 综上：当 0a  时，  f x 在 (0, ) 上单调递减； 当 0a  时，  f x 在 10, a      上单调递减，在 1 ,a     上单调递增. （Ⅱ）令 1( ) ( ) 2 axg x f x ax xe    1 lnaxxe ax x   ， 则 1 1 1'( ) ax axg x e axe a x      1 1( 1) axax e x       ， 由于 1 1 1 1ax ax xee x x     ，设 1( ) 1axr x xe   ， 1'( ) (1 ) axr x ax e   ， 由 1'( ) 0 1 0r x ax x a        ，所以 ( )r x 在 10, a     上单调递增； 由 1'( ) 0 1 0r x ax x a        ，所以 ( )r x 在 1 ,a      上单调递减. ∴ max 2 1 1( ) ( 1) 0r x r a ae          （因为 2 1a e   ），从而 1 1 0axe x    . - 11 - 则 ( )g x 在 10, a     上单调递减；在 1 ,a      上单调递增，∴ min 1( )g x g a      ， 设  21 0,t ea     ， 2 2 1 ( ) ln 1(0 )tg h t t t ea e           ， 2 1 1'( ) 0h t e t    ， ( )h t 在 20,e  上递减，∴ 2( ) ( ) 0h t h e  ； ∴ ( ) 0g x  ，故   12 axf x ax xe   . 说明：判断 1 1axe x   的符号时，还可以用以下方法判断： 由 1 1 0axe x    得到 1 ln xa x  ，设 1 ln( ) xp x x  ， 2 ln 2'( ) xp x x  ， 当 2x e 时， '( ) 0p x  ；当 20 x e  时， '( ) 0p x  . 从而 ( )p x 在 2(0, )e 上递减，在 2( , )e  上递增. ∴ 2 min 2 1( ) ( )p x p e e    . 当 2 1a e   时， 1 ln xa x  ，即 1 1 0axe x    . 22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令 BOX   ， 4AOX   ， 在 ABC 中， AC 为直径， 4 2 cos( )4OB     ， ∵ 1 3 1 x ta y t       消去参数 t 得直线l 的普通方程为： 3 1 0ax y a    . 法二：在直角坐标系中，圆 C 的圆心为 (2,2) ，则方程为 2 2( 2) ( 2) 8x y    . 即 2 2 4 4 0x y x y    ，∴ 2 4 cos 4 sin 0       ， 即 4cos 4sin 4 2 sin( )4        . （Ⅱ）法一：直线过圆 C 内一定点 (3,1)P ，当CP AB 时， AB 有最小值， ∴ 222 2 8 2 2 6AB R CP     . 法二：点 (2,2)C 到直线l 的距离 2 1 1 ad a   ， ∴ 222AB R CP  2 2 2 (1 ) 22 8 2 71 1 a a a a      . - 12 - 当 1a  时， AB 有最小值 2 6 . 23.解：（Ⅰ）由已知，令 2( 1) ( ) 1 1 2 ( 1 1) 2( 1) x f x x x x x x             ， 由 ( ) 2f x  得 { | 1 1}A x x    . （Ⅱ）将不等式 2 2 1 0mx x m    整理成 2( 1) 2 1 0x m x    ， 令 2( ) ( 1) 2 1g m x m x    ，要使 ( ) 0g m  ， 则 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 0 (1) ( 1) 1 2 1 0 g x x g x x                ， ∴ 2 2 2 2 0 2 0 x x x x       ，∴ 1 3 3 1 0 2 x x x         或 ，∴ 3 1 2x   .