2013届高考数学难点突破复习 7页

函数的专题复习－函数的单调性 高考命题规律 内容上，主要考查求函数的单调区间或应用单调性求值域，或用导数法求单调区间（选修内 容），是高考命题的热点问题。 函数的单调性是与不等式直接联系的，对函数的单调性的考查与解不等式、求函数的值域、 数形结合等相结合。 知识清单： 1 单调性的定义：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 2121 ,, xxxx 当 时，（1）若＿＿＿＿＿＿＿＿，则 f(x)在＿＿＿上是增函数。 （2）若＿＿＿＿＿＿＿＿，则 f(x)在＿＿＿＿上是减函数。 2 函数的单调区间的定义：若函数 f(x)在区间 D 上是＿＿＿＿或＿＿＿＿，则称函数 f(x) 在这一区间上具有单调性，＿＿＿＿叫做 f(x)的单调区间。 3 判别函数单调性的方法：（1）定义法：利用定义严格判断；（2）利用函数的运算性质：如 若 f(x),g(x)为增函数，则①f(x)+g(x)为增函数，② )( 1 xf 为减函数（f(x)>0）③ )(xf 为 增函数（f(x)≥0）④f(x)g(x)为增函数（f(x)>0,g(x)>0）⑤-f(x)为减函数。 4 利用复合函数关系判断单调性：法则是：＿＿＿＿＿＿＿，即两个简单函数的单调性相同， 则它们的复合函数为＿＿＿＿，若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为＿＿＿。 5 图象法 6 导数法：（1）若 f(x)在某个区间内可导，当 f(x)’>0 时，f(x)为＿＿ 函数，当 f(x)’<0 时，f(x)为＿＿＿函数；反之也真。 7 函 数 的 单 调 性 是 针 对 确 定 的 区 间 而 言 的 ， 所 以 要 受 到 区 间 的 限 制 。 如 ： 递减吗？数在上都是减函数，能说函分别在 ),0()0,(),0(),0,(1  xy 8 熟练掌握函数解析式的化简与转化方法，使问题转化为熟悉的简单函数的单调性问题，缩 短对问题的判断过程，即转化为一次函数、二次函数、指、对数函数、三角函数等。 【2011 考题精选】 1.北京）已知函数     xf x x k e ，（ I）求  fx的单调区间； （II）求 在区间 0,1 上的最小值。 2 福建 22）已知 a、b 为常数，且 a≠0，函数 f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（ e＝2.71828… 是自然对数的底数）。 （Ⅰ）求实数 b 的值； （Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间； （Ⅲ）当 a＝1 时，是否同时存在实数 m 和 M（m＜M），使得对每一个．．．t∈[m，M]，直 线 y＝t 与曲线 y＝f(x)（x∈[1 e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数 m 和最 大的实数 M；若不存在，说明理由。 3 江苏 2. ）函数 )12(log)( 5  xxf 的单调增区间是__________ 4 江西）设 xxxxf ln42)( 2  ，则 0)(' xf 的解集为＿＿＿＿＿ 5 四川）16．函数 ()fx的定义域为 A，若 12,x x A 且 12( ) ( )f x f x 时总有 12xx ，则称 ()fx 为单函数．例如，函数 ()fx=2x+1( xR )是单函数．下列命题： ①函数 2()f x x （xR）是单函数； ②若 ()fx为单函数， 12,x x A 且 12xx ，则 12( ) ( )f x f x ； ③若 f：A→B 为单函数，则对于任意bB ，它至多有一个原象； ④函数 在某区间上具有单调性，则 一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 6(天津 8）设函数     2 1 2 log , 0 log , 0 xx fx xx    若    f a f a，则实数 a 的取值范围是 7(天津 6)．设 5log 4a  ，  2 5log 3b  ， 4log 5c  ，则 a,b,c 的大小关系＿＿＿． 8(天津 10)．设函数   2 2g x x xR ，           4, , ,, g x x x g xfx g x x x g x      则  fx的 值域是＿＿＿＿＿． 【10－08 考题精选】 1（2010 江苏卷 14）、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中 一块是梯形，记 2(S  梯形的周长） 梯形的面积 ,则 S 的最小值是____▲____。 2(2010 重庆文数（4））函数 16 4xy 的值域是________ 3（2010 重庆文数）(12)已知 0t  ，则函数 2 41tty t  的最小值为____________ . 4（2009 全国卷Ⅱ文）设 2lg , (lg ) , lg ,a e b e c e   则＿＿＿＿＿＿ 5（2009 天津卷文）设函数      0,6 0,64)( 2 xx xxxxf 则不等式 )1()( fxf  的解集是＿＿ 6(09 江苏）函数 32( ) 15 33 6f x x x x    的单调减区间为 ★ . 7(09 江苏）已知 51 2a  ，函数 () xf x a ，若实数 ,mn满足 ( ) ( )f m f n ，则 的大小关系为 ★ . 8(09 江苏 20）设 a 为实数，函数 2( ) 2 ( ) | |f x x x a x a    . (1) 若 (0) 1f  ，求 的取值范围； 求 ()fx的最小值； (2) 设函数 ( ) ( ), ( , )h x f x x a   ，写出．．(不需演算步骤)不等式 ( ) 1hx 的解集. 2011 参考答案： 1 解：（I） / ( ) ( 1) xf x x k e   ，令 / ( ) 0 1f x x k    ；所以  fx在( , 1)k  上递 减，在( 1, )k   上递增； （II）当 1 0, 1kk  即 时，函数 在区间 0,1 上递增，所以 min( ) (0)f x f k   ； 当 0 1 1k   即12k时，由（I）知，函数 在区间 0, 1k  上递减，( 1,1]k  上递增，所以 1 min( ) ( 1) kf x f k e     ； 当 1 1, 2kk  即 时 ， 函 数 在 区 间 上 递 减 ， 所 以 min( ) (1) (1 )f x f k e   。 2 解析（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0 时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1）， a ＜0 时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在 m，M；m 的最小值 为 1，M 的最大值为 2。 3 解析： 5logyu 在 (0, ) . 21ux在 1( , ),2x   大于零,且增. 4【解析】 )(xf 定义域为 ),0(  ，又由 0)1)(2(2422)('  x xx xxxf ，解得 01  x 或 2x ，所以 0)(' xf 的解集 ),2(  5 答案：②③ 解析：对于①，若 12( ) ( )f x f x ，则 12xx ，不满足；②实际上是单函数命题的逆否 命题，故为真命题；对于③，若任意bB ，若有两个及以上的原象，也即当 时， 不一定有 12xx ，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件． 6【解】若 0a  ，则 21 2 log logaa ，即 22log 0a  ，所以 1a  ， 若 0a  则    12 2 log logaa   ，即  22log 0a，所以01a   ， 10a   。 所以实数 a 的取值范围是 或 ，即    1 0 1a , ,  U ． 7【解】因为 44log 5 log 4 1cc    ， 50 log 4 1a   ， 50 log 3 1a   ， 所以  2 5 5 5 5log 3 log 3 log 4 log 4ba     ，所以bac， 8【解】解   2 2x g x x   得 2 20xx   ，则 1x  或 2x  ．因此   2 2x g x x   的解为： 12x   ．于是   2 2 2, 1 2, 2, 1 2, x x x xfx x x x             或 当 1x  或 2x  时，   2fx ． 当 时， 2 2 192 24x x x     ，则   9 4fx ， 又当 1x  和 2x  时， 2 20xx   ，所以  9 04 fx   ． 由以上，可得 或 ，因此  fx的值域是  9 ,0 2,4   U ． 10-08 参考答案： 1[解析] 设剪成的小正三角形的边长为 x ，则： 22 2 (3 ) 4 (3 ) (0 1)11 3 3( 1) (1 )22 xxSxxxx          （方法一）利用导数求函数最小值。 2 2 4 (3 )() 13 xSx x  ， 22 22 4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 )() (1 )3 x x x xSx x          22 2 2 2 2 4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 ) 4 2(3 1)( 3) (1 ) (1 )33 x x x x x x xx              1( ) 0,0 1, 3S x x x     ，当 1(0, ]3x 时， ( ) 0,Sx  递减； 当 1[ ,1)3x 时， ( ) 0,Sx  递增； 故当 1 3x  时，S 的最小值是 32 3 3 。 （方法二）利用函数的方法求最小值。 令 1 1 13 , (2,3), ( , )32x t t t    ，则： 2 2 2 4 4 1 8668331 tS tt tt          故当1 3 1,83xt 时，S 的最小值是 。 2 解析：  4 0, 0 16 4 16 16 4 0,4x x x        3 解析： 2 4 1 1 4 2( 0)tty t ttt        ，当且仅当 1t  时， min 2y  4 解析 考查对数函数的增减性，由 1>lge>0,知 a>b,又 c= 2 1 lge, 作商比较知 c>b,选 a c b。 5 解析 由已知，函数先增后减再增 当 0x ， 2)( xf 3)1( f 令 ,3)( xf 解得 3,1  xx 。 当 0x ， 3,36  xx 故 3)1()(  fxf ，解得 313  xx 或 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 6 解析： 2( ) 3 30 33 3( 11)( 1)f x x x x x       ，由( 11)( 1) 0xx   得单调 减区间为( 1,11) 7 解析： mn 。 8 解析：（1）若 (0) 1f  ，则 2 0| | 1 1 1 aa a a a        （2）当 xa 时， 22( ) 3 2 ,f x x ax a   2 2min ( ), 0 2 , 0 () 2( ), 0 ,03 3 f a a a a fx a afa a    当 xa 时， 22( ) 2 ,f x x ax a   2 min 2 ( ), 0 2 , 0() ( ), 0 2 , 0 f a a a afx f a a aa        综上 2 2min 2 , 0 () 2 ,03 aa fx a a    (3) ( , )xa  时， ( ) 1hx 得 223 2 1 0x ax a    ， 2 2 24 12( 1) 12 8a a a      当 66 22aa  或 时， 0, ( , )xa    ； 综合能力训练： 1、若函数 )1,0)(1(log)(  aaxxf a 的定义域和值域都是[0,1]则 a=__ 2.函数 )34ln()( 2xxxf  的单调递减区间是_________ 3 函数 )2lg()( 2 mxxxf  的值域是 R，则 m 的取值 范围是______ 4. 函数 f(x)(x ∈ R) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 g(x)=f(logax) (0