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  • 2021-06-11 发布

2013届高考数学难点突破复习

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函数的专题复习-函数的单调性 高考命题规律 内容上,主要考查求函数的单调区间或应用单调性求值域,或用导数法求单调区间(选修内 容),是高考命题的热点问题。 函数的单调性是与不等式直接联系的,对函数的单调性的考查与解不等式、求函数的值域、 数形结合等相结合。 知识清单: 1 单调性的定义:设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 2121 ,, xxxx 当 时,(1)若________,则 f(x)在___上是增函数。 (2)若________,则 f(x)在____上是减函数。 2 函数的单调区间的定义:若函数 f(x)在区间 D 上是____或____,则称函数 f(x) 在这一区间上具有单调性,____叫做 f(x)的单调区间。 3 判别函数单调性的方法:(1)定义法:利用定义严格判断;(2)利用函数的运算性质:如 若 f(x),g(x)为增函数,则①f(x)+g(x)为增函数,② )( 1 xf 为减函数(f(x)>0)③ )(xf 为 增函数(f(x)≥0)④f(x)g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0)⑤-f(x)为减函数。 4 利用复合函数关系判断单调性:法则是:_______,即两个简单函数的单调性相同, 则它们的复合函数为____,若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为___。 5 图象法 6 导数法:(1)若 f(x)在某个区间内可导,当 f(x)’>0 时,f(x)为__ 函数,当 f(x)’<0 时,f(x)为___函数;反之也真。 7 函 数 的 单 调 性 是 针 对 确 定 的 区 间 而 言 的 , 所 以 要 受 到 区 间 的 限 制 。 如 : 递减吗?数在上都是减函数,能说函分别在 ),0()0,(),0(),0,(1  xy 8 熟练掌握函数解析式的化简与转化方法,使问题转化为熟悉的简单函数的单调性问题,缩 短对问题的判断过程,即转化为一次函数、二次函数、指、对数函数、三角函数等。 【2011 考题精选】 1.北京)已知函数     xf x x k e ,( I)求  fx的单调区间; (II)求 在区间 0,1 上的最小值。 2 福建 22)已知 a、b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2,( e=2.71828… 是自然对数的底数)。 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个...t∈[m,M],直 线 y=t 与曲线 y=f(x)(x∈[1 e,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最 大的实数 M;若不存在,说明理由。 3 江苏 2. )函数 )12(log)( 5  xxf 的单调增区间是__________ 4 江西)设 xxxxf ln42)( 2  ,则 0)(' xf 的解集为_____ 5 四川)16.函数 ()fx的定义域为 A,若 12,x x A 且 12( ) ( )f x f x 时总有 12xx ,则称 ()fx 为单函数.例如,函数 ()fx=2x+1( xR )是单函数.下列命题: ①函数 2()f x x (xR)是单函数; ②若 ()fx为单函数, 12,x x A 且 12xx ,则 12( ) ( )f x f x ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意bB ,它至多有一个原象; ④函数 在某区间上具有单调性,则 一定是单函数. 其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号) 6(天津 8)设函数     2 1 2 log , 0 log , 0 xx fx xx    若    f a f a,则实数 a 的取值范围是 7(天津 6).设 5log 4a  ,  2 5log 3b  , 4log 5c  ,则 a,b,c 的大小关系___. 8(天津 10).设函数   2 2g x x xR ,           4, , ,, g x x x g xfx g x x x g x      则  fx的 值域是_____. 【10-08 考题精选】 1(2010 江苏卷 14)、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中 一块是梯形,记 2(S  梯形的周长) 梯形的面积 ,则 S 的最小值是____▲____。 2(2010 重庆文数(4))函数 16 4xy 的值域是________ 3(2010 重庆文数)(12)已知 0t  ,则函数 2 41tty t  的最小值为____________ . 4(2009 全国卷Ⅱ文)设 2lg , (lg ) , lg ,a e b e c e   则______ 5(2009 天津卷文)设函数      0,6 0,64)( 2 xx xxxxf 则不等式 )1()( fxf  的解集是__ 6(09 江苏)函数 32( ) 15 33 6f x x x x    的单调减区间为 ★ . 7(09 江苏)已知 51 2a  ,函数 () xf x a ,若实数 ,mn满足 ( ) ( )f m f n ,则 的大小关系为 ★ . 8(09 江苏 20)设 a 为实数,函数 2( ) 2 ( ) | |f x x x a x a    . (1) 若 (0) 1f  ,求 的取值范围; 求 ()fx的最小值; (2) 设函数 ( ) ( ), ( , )h x f x x a   ,写出..(不需演算步骤)不等式 ( ) 1hx 的解集. 2011 参考答案: 1 解:(I) / ( ) ( 1) xf x x k e   ,令 / ( ) 0 1f x x k    ;所以  fx在( , 1)k  上递 减,在( 1, )k   上递增; (II)当 1 0, 1kk  即 时,函数 在区间 0,1 上递增,所以 min( ) (0)f x f k   ; 当 0 1 1k   即12k时,由(I)知,函数 在区间 0, 1k  上递减,( 1,1]k  上递增,所以 1 min( ) ( 1) kf x f k e     ; 当 1 1, 2kk  即 时 , 函 数 在 区 间 上 递 减 , 所 以 min( ) (1) (1 )f x f k e   。 2 解析(Ⅰ)b=2;(Ⅱ)a>0 时单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1), a <0 时单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞);(Ⅲ)存在 m,M;m 的最小值 为 1,M 的最大值为 2。 3 解析: 5logyu 在 (0, ) . 21ux在 1( , ),2x   大于零,且增. 4【解析】 )(xf 定义域为 ),0(  ,又由 0)1)(2(2422)('  x xx xxxf ,解得 01  x 或 2x ,所以 0)(' xf 的解集 ),2(  5 答案:②③ 解析:对于①,若 12( ) ( )f x f x ,则 12xx ,不满足;②实际上是单函数命题的逆否 命题,故为真命题;对于③,若任意bB ,若有两个及以上的原象,也即当 时, 不一定有 12xx ,不满足题设,故该命题为真;根据定义,命题④不满足条件. 6【解】若 0a  ,则 21 2 log logaa ,即 22log 0a  ,所以 1a  , 若 0a  则    12 2 log logaa   ,即  22log 0a,所以01a   , 10a   。 所以实数 a 的取值范围是 或 ,即    1 0 1a , ,  U . 7【解】因为 44log 5 log 4 1cc    , 50 log 4 1a   , 50 log 3 1a   , 所以  2 5 5 5 5log 3 log 3 log 4 log 4ba     ,所以bac, 8【解】解   2 2x g x x   得 2 20xx   ,则 1x  或 2x  .因此   2 2x g x x   的解为: 12x   .于是   2 2 2, 1 2, 2, 1 2, x x x xfx x x x             或 当 1x  或 2x  时,   2fx . 当 时, 2 2 192 24x x x     ,则   9 4fx , 又当 1x  和 2x  时, 2 20xx   ,所以  9 04 fx   . 由以上,可得 或 ,因此  fx的值域是  9 ,0 2,4   U . 10-08 参考答案: 1[解析] 设剪成的小正三角形的边长为 x ,则: 22 2 (3 ) 4 (3 ) (0 1)11 3 3( 1) (1 )22 xxSxxxx          (方法一)利用导数求函数最小值。 2 2 4 (3 )() 13 xSx x  , 22 22 4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 )() (1 )3 x x x xSx x          22 2 2 2 2 4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 ) 4 2(3 1)( 3) (1 ) (1 )33 x x x x x x xx              1( ) 0,0 1, 3S x x x     ,当 1(0, ]3x 时, ( ) 0,Sx  递减; 当 1[ ,1)3x 时, ( ) 0,Sx  递增; 故当 1 3x  时,S 的最小值是 32 3 3 。 (方法二)利用函数的方法求最小值。 令 1 1 13 , (2,3), ( , )32x t t t    ,则: 2 2 2 4 4 1 8668331 tS tt tt          故当1 3 1,83xt 时,S 的最小值是 。 2 解析:  4 0, 0 16 4 16 16 4 0,4x x x        3 解析: 2 4 1 1 4 2( 0)tty t ttt        ,当且仅当 1t  时, min 2y  4 解析 考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c= 2 1 lge, 作商比较知 c>b,选 a c b。 5 解析 由已知,函数先增后减再增 当 0x , 2)( xf 3)1( f 令 ,3)( xf 解得 3,1  xx 。 当 0x , 3,36  xx 故 3)1()(  fxf ,解得 313  xx 或 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 6 解析: 2( ) 3 30 33 3( 11)( 1)f x x x x x       ,由( 11)( 1) 0xx   得单调 减区间为( 1,11) 7 解析: mn 。 8 解析:(1)若 (0) 1f  ,则 2 0| | 1 1 1 aa a a a        (2)当 xa 时, 22( ) 3 2 ,f x x ax a   2 2min ( ), 0 2 , 0 () 2( ), 0 ,03 3 f a a a a fx a afa a    当 xa 时, 22( ) 2 ,f x x ax a   2 min 2 ( ), 0 2 , 0() ( ), 0 2 , 0 f a a a afx f a a aa        综上 2 2min 2 , 0 () 2 ,03 aa fx a a    (3) ( , )xa  时, ( ) 1hx 得 223 2 1 0x ax a    , 2 2 24 12( 1) 12 8a a a      当 66 22aa  或 时, 0, ( , )xa    ; 综合能力训练: 1、若函数 )1,0)(1(log)(  aaxxf a 的定义域和值域都是[0,1]则 a=__ 2.函数 )34ln()( 2xxxf  的单调递减区间是_________ 3 函数 )2lg()( 2 mxxxf  的值域是 R,则 m 的取值 范围是______ 4. 函数 f(x)(x ∈ R) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 函 数 g(x)=f(logax) (0