高考数学专题复习：课时达标检测（十九） 任意角和弧度制、任意角的三角函数 6页

课时达标检测（十九） 任意角和弧度制、任意角的三角函数 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．若cos α>0且tan α<0，则α是(　　)‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选D　由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．‎ ‎2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是(　　)‎ A．重合 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 解析：选C　角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称，所以角α与β的终边关于x轴对称．‎ ‎3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　　)‎ A. B. ‎ C. D．2‎ 解析：选C　设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为r.根据题意，由r＝αr，得α＝.‎ ‎4．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于(　　)‎ A．2 B．－2 ‎ C．4 D．－4‎ 解析：选A　∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，‎ ‎∴角α的终边在第三象限．又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.又|OP|＝，∴解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.‎ ‎5．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．‎ 解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋<1，则角θ的终边在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．‎ ‎2．若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　)‎ A．0 B．2 ‎ C．－2 D．2或－2‎ 解析：选A　由于α是第三象限角，‎ 所以是第二或第四象限角．‎ 当是第二象限角时，sin>0，cos<0，‎ y＝＋＝1－1＝0；‎ 当是第四象限角时，sin<0，cos>0，‎ y＝＋＝－1＋1＝0.故选A.‎ ‎3．已知角α的终边经过一点P(x，x2＋1)(x>0)，则tan α的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C. D. 解析：选B　tan α＝＝x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.‎ ‎4．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若 ‎∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　　)‎ A．(cos θ，sin θ)‎ B．(－cos θ，sin θ)‎ C．(sin θ，cos θ)‎ D．(－sin θ，cos θ)‎ 解析：选A　由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cos θ，纵坐标y＝sin θ.‎ ‎5．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，则cos 2α＝(　　)‎ A．－ B．1‎ C. D．－ 解析：选A　∵角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，‎ ‎∴2＋(y0)2＝1，∴y0＝±，‎ 则cos α＝，sin α＝±，‎ ‎∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.‎ ‎6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　∵＝，‎ ‎∴角α为第四象限角，且sin α＝－，cos α＝.‎ ‎∴角α的最小正值为.‎ 二、填空题 ‎7．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．‎ 解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，‎ 所以即 所以θ为第二象限角．‎ 答案：二 ‎8．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，‎ 则m＝________.‎ 解析：由题设知点P的横坐标x＝－，纵坐标y＝m，‎ ‎∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，‎ 即r＝.‎ ‎∴sin α＝＝＝，‎ ‎∴r＝＝2，‎ 即3＋m2＝8，解得m＝±.‎ 答案：± ‎9．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．‎ 解析：设扇形半径为R，内切圆半径为r，如图．‎ 则(R－r)sin 60°＝r，‎ 即R＝r.‎ 又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝2r2＝πr2，S内切圆＝πr2，‎ 所以＝.‎ 答案：(7＋4)∶9‎ ‎10．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为________．‎ 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x∈.‎ 答案： 三、解答题 ‎11．已知sin α＜0，tan α＞0.‎ ‎(1)求角α的集合；‎ ‎(2)求角终边所在的象限；‎ ‎(3)试判断 tansin cos的符号．‎ 解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上；‎ 由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，‎ 故角α的终边在第三象限，其集合为 .‎ ‎(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，‎ 当k为偶数时，角终边在第二象限；‎ 当k为奇数时，角终边在第四象限．‎ 故角终边在第二或第四象限．‎ ‎(3)当角在第二象限时，tan ＜0，‎ sin ＞0, cos ＜0，‎ 所以tansincos取正号；‎ 当在第四象限时， tan＜0，‎ sin＜0, cos＞0，‎ 所以 tansincos也取正号．‎ 因此，tansin cos 取正号．‎ ‎12．已知扇形AOB的周长为8.‎ ‎(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；‎ ‎(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.‎ 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，‎ ‎(1)由题意可得 解得或 ‎∴α＝＝或α＝＝6.‎ ‎(2)∵2r＋l＝8，‎ ‎∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，‎ 当且仅当r＝2，l＝4，‎ 即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.‎ 此时弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.‎