2020届高考理科数学二轮专题复习课件：专题5 解析几何2-5-高考小题 1 41页

第 1 课时　 直 线 与 圆 考向一　直线的方程 ( 保分题型考点 ) 【题组通关】 1. 设 a∈R, 则“ a=-2” 是直线 l 1 :ax+2y-1=0 与直线 l 2 :x+(a+1)y+4=0 平行的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 一条光线从点 (-2,-3) 射出 , 经 y 轴反射后与圆 (x+3) 2 +(y-2) 2 =1 相切 , 则反射光线所在直线的斜率 为 ( 　　 ) 3. 过点 P(2,3) 的直线 l 与 x 轴、 y 轴正半轴分别交于 A,B 两点 ,O 为坐标原点 , 则 S △AOB 的最小值为 __________.  【解析】 1. 选 A. 当 a=-2 时 , l 1 :-2x+2y-1=0, l 2 :x-y+4=0, 显然 l 1 ∥ l 2 . 当 l 1 ∥ l 2 时 , 由 a(a+1)=2 且 a+1≠-8 得 a=1 或 a=-2, 所以 a=-2 是 l 1 ∥ l 2 的充分不必要条件 . 2. 选 D. 由题知 , 反射光线所在直线过点 (2,-3), 设反射光线所在直线的方程为 y+3=k(x-2), 即 kx-y-2k-3=0. 因为圆 (x+3) 2 +(y-2) 2 =1 的圆心为 (-3,2), 半径为 1, 且反射光线与该圆相切 , 所以 =1, 化简得 12k 2 +25k+12=0, 解得 k=- 或 k=- . 3. 依题意 , 设直线 l 的方程为 =1(a>0,b>0). 因为点 P(2,3) 在直线 l 上 . 所以 =1, 则 ab=3a+2b≥2 , 故 ab≥24, 当且仅当 3a=2b( 即 a=4,b=6) 时取等号 . 因此 S △AOB = ab≥12, 即 S △AOB 的最小值为 12. 答案 : 12 【拓展提升】 求直线方程的两种方法 (1) 直接法 : 根据已知条件 , 找出直线方程的确定条件 , 选择适当的直线方程的形式 , 直接求出直线方程 . (2) 待定系数法 : 其具体步骤为 :① 设出直线方程的恰当 形式 ( 点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式 ); ② 根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组 ; ③ 解方程或方程组得到待定系数 ;④ 写出直线方程 ; ⑤ 验证所得直线方程是否为所求直线方程 , 如果有遗漏 需要补加 . 考向二　圆的方程 ( 保分题型考点 ) 【题组通关】 1.(2019· 芜湖二模 ) 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上 , 点 M(0, ) 在圆 C 上 , 且圆心到直线 2x-y=0 的距离为 , 则圆 C 的方程为 ______________.  2. 一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点 , 且圆心在 x 轴的正半轴上 , 则该圆的标准方程为 ____________.  世纪金榜导学号 【解析】 1. 因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上 , 设 C(a,0), 且 a>0. 则圆心 C 到直线 2x-y=0 的距离 d= , 解得 a=2. 所以圆 C 的半径 r=|CM|= =3, 因此圆 C 的方程为 (x-2) 2 +y 2 =9. 答案 : (x-2) 2 +y 2 =9 2. 由题意知 , 椭圆顶点的坐标为 (0,2),(0,-2), (-4,0),(4,0). 由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过顶点 (0,2),(0,-2), (4,0). 设圆的标准方程为 (x-m) 2 +y 2 =r 2 , 则有 所以圆的标准方程为 答案 : 【拓展提升】 1. 直接法求圆的方程 , 根据圆的几何性质 , 直接求出圆心坐标和半径 , 进而写出方程 . 2. 待定系数法求圆的方程 :(1) 若已知条件与圆心 (a,b) 和半径 r 有关 , 则设圆的标准方程 , 依据已知条件列出关于 a,b,r 的方程组 , 从而求出 a,b,r 的值 ;(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径 , 则选择圆的一般方程 , 依据已知条件列出关于 D,E,F 的方程组 , 进而求出 D,E,F 的值 . 【变式训练】 (2017· 天津高考 ) 设抛物线 y 2 =4x 的焦点为 F, 准线为 l . 已知点 C 在 l 上 , 以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A. 若 ∠FAC=120°, 则圆的方程为 ________.  【解析】 方法一 : 设圆心坐标为 C(-1,m), 则 A(0,m), 焦点 F(1,0), =(-1,0), =(1,-m), cos∠CAF= 由于圆 C 与 y 轴的正半轴相切 , 则取 m= , 所求圆的 圆心为 (-1, ), 半径为 1, 所求圆的方程为 (x+1) 2 +(y- ) 2 =1. 答案 : (x+1) 2 +(y- ) 2 =1 方法二 : 由题意知此抛物线的焦点 F 为 (1,0), 此抛物线 的准线方程为 x=-1, 图象如图所示 . 故圆的圆心 C 为 (-1,y), 其半径为 1, 因为 ∠FAC=120°,∠CAO=90°, 所以 ∠FAO=120°-90°=30°, 故 y= = . 即该圆的圆心坐标为 (-1, ), 故此圆的方程为 (x+1) 2 +(y- ) 2 =1. 答案 : (x+1) 2 +(y- ) 2 =1 考向三　直线 ( 圆 ) 和圆的位置关系 ( 压轴题型考点 ) 【典例】 （ 1 ）（ 2016· 全国卷 Ⅱ ） 圆 x 2 +y 2 -2x-8y +13=0 ① 的 圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1 ② ， 则 a=( ) （ 2 ）（ 2016· 山东高考）已知圆 M ： x 2 +y 2 － 2ay =0(a>0) 截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 ，则 圆 M 与圆 N ： (x-1 ） 2 +(y － 1) 2 =1 的位置关系 ③ 是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 （ 3 ）（ 2016· 全国卷 Ⅰ ）设直线 y=x+2a 与圆 C ： x 2 +y 2 -2ay-2=0 相交于 A ， B 两点，若 |AB|=2 ④ ， 则圆 C 的面积为 _____. 世纪金榜导学号 【题眼直击】 题目 题眼 思维导引 (1) ① 想到化为圆的标准式方程 ② 想到点到直线的距离公式 (2) ③ 想到利用圆心距与两圆半径的和差关系 (3) ④ 想到构建直角三角形 , 运用勾股定理分析 【解析】 (1) 选 A. 圆 x 2 +y 2 -2x-8y+13=0 化为标准方程为 : (x-1) 2 +(y-4) 2 =4, 故圆心为 (1,4),d= =1, 解得 a=- . (2) 选 B. 圆 M:x 2 +y 2 -2ay=0(a>0) 可化为 :x 2 +( y － a) 2 =a 2 , 由题意 ,d= , 所以有 ,a 2 = +2, 解得 a=2. 所以圆 M: x 2 +( y － a) 2 =2 2 , 圆心距 = , 半径和 =3, 半径差 =1, 所以二者相交 . (3) 由圆 C:x 2 +y 2 -2ay-2=0 可得 x 2 +(y-a) 2 =a 2 +2, 所以圆 心 C(0,a), 由题意可知 , 解得 a 2 =2, 所以圆 C 的面积为 π(a 2 +2)=4π. 答案 : 4π 【拓展提升】 1. 有关弦长问题的两种求法 (1) 几何法 : 直线被圆截得的半弦长 , 弦心距 d 和圆 的半径 r 构成直角三角形 , 即 r 2 = +d 2 . (2) 代数法 : 联立直线方程和圆的方程 , 消元转化为关于 x( 或 y) 的一元二次方程 , 由根与系数的关系即可求得弦 长 |AB|= |x 1 -x 2 |= 或 |AB|= |y 1 -y 2 |= ( 其中 k 为斜率 ). 2. 过一点求圆的切线的方法 (1)① 过圆上一点 (x 0 ,y 0 ) 的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率 k, 由垂直关系知切线斜率 为 - , 由点斜式方程可求切线方程 . 若切线斜率不存 在 , 则由图形写出切线方程 x=x 0 . ② 圆方程 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 , 过圆上一点 (x 0 ,y 0 ) 的切线方程为 (x 0 -a)(x-a)+(y 0 -b)(y-b)=r 2 . (2) 过圆外一点 (x 0 ,y 0 ) 的圆的切线方程的求法 当斜率存在时 , 设为 k, 切线方程为 y-y 0 =k(x-x 0 ), 即 kx-y+y 0 -kx 0 =0. 由圆心到直线的距离等于半径 , 即可得出切线方程 . 当斜率不存在时要加以验证 . 【变式训练】 (1) 已知直线 l :x+ay-1=0(a∈R) 是圆 C:x 2 +y 2 -4x-2y+1=0 的对称轴 . 过点 A(-4,a) 作圆 C 的一条切线 , 切点为 B, 则 |AB|= ( 　　 ) A.2 B.4 C.6 D.2 (2) 已知圆 C 的方程是 x 2 +y 2 -8x-2y+8=0, 直线 l :y=a(x-3) 被圆 C 截得的弦长最短时 , 直线 l 的方程为 ______.  (3)(2019· 浙江高考 ) 已知圆 C 的圆心坐标是 (0,m), 半径长是 r. 若直线 2x-y+3=0 与圆相切于点 A(-2,-1), 则 m=________,r=________.  【解析】 (1) 选 C. 方法一 : 由题设 , 得圆 C 的标准方程为 (x-2) 2 +(y-1) 2 =4, 知圆 C 的圆心为 (2,1), 半径为 2. 因为直线 l 为圆 C 的对称轴 , 所以圆心在直线 l 上 , 则 2+a-1=0, 解得 a=-1, 所以 |AB| 2 =|AC| 2 -|BC| 2 =[(-4-2) 2 +(-1-1) 2 ]-4=36, 所以 |AB|=6. 方法二 : 由题意知 , 圆心为 (2,1), 半径为 2, 圆心在直线 l 上 , 即 2+a-1=0, 解得 a=-1, 再由图知 ,|AB|=6. (2) 圆 C 的标准方程为 (x-4) 2 +(y-1) 2 =9, 所以圆 C 的圆心 C(4,1), 半径 r=3. 又直线 l :y=a(x-3) 过定点 P(3,0), 则当直线 y=a(x-3) 与直线 CP 垂直时 , 被圆 C 截得的弦长最短 . 因此 a · k CP =a · =-1, 所以 a=-1. 故所求直线 l 的方程为 y=-(x-3), 即 x+y-3=0. 答案 : x+y-3=0 (3) 设圆的标准方程为 x 2 +(y-m) 2 =r 2 , 由题意可得 答案 : -2