高科数学专题复习课件：第十二章 12_4离散型随机变量及其分布列 77页

§12.4 　 离散型随机变量及其分布列 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1 . 离散型随机变量 知识梳理 随着试验结果变化 而 称为 随机变量，常用字母 X ， Y ， ξ ， η ， … 表示，所有取值 可以 的 随机变量，称为离散型随机变量 . 2. 离散型随机变量的分布列及性质 (1) 一般 地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1 ， x 2 ， … ， x i ， … ， x n ， X 取每一个值 x i ( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 的概率 P ( X ＝ x i ) ＝ p i ，则表 变化的变量 一一列出 称为离散型随机变量 X 的 ， 简称为 X 的分布列，有时也用等式 P ( X ＝ x i ) ＝ p i ， i ＝ 1,2 ， … ， n 表示 X 的分布列 . (2) 离散型随机变量的分布列的性质 ① ； X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n p i ≥ 0 ， i ＝ 1,2 ， … ， n 概率分布列 (1) 两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为 3. 常见离散型随机变量的分布列 X 0 1 P 1 － p p 其中 p ＝ 称为 成功概率 . P ( X ＝ 1) (2) 超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P ( X ＝ k ) ＝ ， k ＝ 0,1,2 ， … ， m ，其中 m ＝ min{ M ， n } ，且 n ≤ N ， M ≤ N ， n ， M ， N ∈ N * . 如果随机变量 X 的分布列具有下表形式， 则称随机变量 X 服从超几何分布 . X 0 1 … m P _________ _________ … _________ 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 .( 　　 ) (2) 离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象 .( 　　 ) (3) 某人射击时命中的概率为 0.5 ，此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布 .( 　　 ) 思考辨析 √ √ × (4) 从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名演员，其中女演员的人数 X 服从超几何分布 .( 　　 ) (5) 离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( 　　 ) (6) 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 .( 　　 ) √ × √ 考点自测 1.( 教材改编 ) 抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为 X ，那么 X ＝ 4 表示的事件 是 A. 一颗是 3 点，一颗是 1 点 B. 两颗都是 2 点 C. 甲是 3 点，乙是 1 点或甲是 1 点，乙是 3 点或两颗都是 2 点 D. 以上答案都不对 答案 解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知， C 正确 . 答案 解析 即 “ X ＝ 0 ” 表示试验失败， “ X ＝ 1 ” 表示试验成功， 2. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍 ，用 随机变量 X 去描述 1 次 试验 的 成功次数 ，则 P ( X ＝ 0) 等于 设 X 的分布列为 X 0 1 P p 2 p 3. 从标有 1 ～ 10 的 10 支竹签中任取 2 支，设所得 2 支竹签上的数字之和为 X ，那么随机变量 X 可能取得的值 有 A.17 个 B.18 个 C.19 个 D.20 个 答案 解析 X 可能取得的值有 3,4,5 ， … ， 19 ，共 17 个 . 4. 从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 X 个红球，则随机变量 X 的分布列为 答案 解析 X 0 1 2 P       0.1 0.6 0.3 ∵ X 的所有可能取值为 0,1,2 ， ∴ X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 5.( 教材改编 ) 一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、 3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P ( X ＝ 4) 的值为 ______. 答案 解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、 1 个新球， 题型分类　深度剖析 题型一　离散型随机变量的分布列的性质 例 1 　 (1) 设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为 答案 解析 X － 1 0 1 P 2 － 3 q q 2 则 q 等于 解 答 (2) 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求 2 X ＋ 1 的分布列 . 由分布列的性质知 0.2 ＋ 0.1 ＋ 0.1 ＋ 0.3 ＋ m ＝ 1 ，得 m ＝ 0.3. 从而 2 X ＋ 1 的分布列为 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2 X ＋ 1 1 3 5 7 9 2 X ＋ 1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 引申 探究 解答 1. 在本例 (2) 的条件下，求随机变量 η ＝ | X － 1| 的分布列 . 由 (2) 知 m ＝ 0.3 ， 列表 X 0 1 2 3 4 | X － 1| 1 0 1 2 3 ∴ P ( η ＝ 1) ＝ P ( X ＝ 0) ＋ P ( X ＝ 2) ＝ 0.2 ＋ 0.1 ＝ 0.3 ， P ( η ＝ 0) ＝ P ( X ＝ 1) ＝ 0.1 ， P ( η ＝ 2) ＝ P ( X ＝ 3) ＝ 0.3 ， P ( η ＝ 3) ＝ P ( X ＝ 4) ＝ 0.3. 故 η ＝ | X － 1| 的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2. 若本例 (2) 中条件不变，求随机变量 η ＝ X 2 的分布列 . 解答 依题意知 η 的值为 0,1,4,9,16. P ( η ＝ 0) ＝ P ( X 2 ＝ 0) ＝ P ( X ＝ 0) ＝ 0.2 ， P ( η ＝ 1) ＝ P ( X 2 ＝ 1) ＝ P ( X ＝ 1) ＝ 0.1 ， p ( η ＝ 4) ＝ P ( X 2 ＝ 4) ＝ P ( X ＝ 2) ＝ 0.1 ， P ( η ＝ 9) ＝ P ( X 2 ＝ 9) ＝ P ( X ＝ 3) ＝ 0.3 ， P ( η ＝ 16) ＝ P ( X 2 ＝ 16) ＝ P ( X ＝ 4) ＝ 0.3 ， η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (1) 利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数 . (2) 求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 设随机变量 X 的分布列为 P ( X ＝ ) ＝ ak ( k ＝ 1,2,3,4,5). (1) 求 a ； 解答 解答 解答 命题点 1 　与排列组合有关的分布列的求法 例 2 　 (2015· 重庆改编 ) 端午节吃粽子是我国的传统习俗 . 设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同 . 从中任意选取 3 个 . (1) 求三种粽子各取到 1 个的概率； 解答 题型二　离散型随机变量的分布列的求法 令 A 表示事件 “ 三种粽子各取到 1 个 ” ， (2) 设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列 . 解答 X 的所有可能值为 0,1,2 ，且 综上知 ， X 的分布列为 X 0 1 2 P 命题点 2 　与互斥事件有关的分布列的求法 例 3 　 (2015· 安徽改编 ) 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 . (1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 ； 解答 记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 ” 为事件 A ， (2) 已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 ( 单位：元 ) ，求 X 的分布列 . 解答 X 的可能取值为 200,300,400. P ( X ＝ 400) ＝ 1 － P ( X ＝ 200) － P ( X ＝ 300) 故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 命题点 3 　与独立事件 ( 或独立重复试验 ) 有关的分布列的求法 例 4 　 (2016· 蚌埠模拟 ) 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛 . 假设每局甲获胜的概率 为 ， 乙获胜的概率 为 ， 各局比赛结果相互独立 . (1) 求甲在 4 局以内 ( 含 4 局 ) 赢得比赛的概率； (2) 记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列 . 解答 用 A 表示 “ 甲在 4 局以内 ( 含 4 局 ) 赢得比赛 ” ， A k 表示 “ 第 k 局甲获胜 ” ， B k 表示 “ 第 k 局乙获胜 ” . (1) P ( A ) ＝ P ( A 1 A 2 ) ＋ P ( B 1 A 2 A 3 ) ＋ P ( A 1 B 2 A 3 A 4 ) (2) X 的可能取值为 2,3,4,5. ＝ P ( A 1 ) P ( A 2 ) ＋ P ( B 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) ＋ P ( A 1 ) P ( B 2 )· P ( A 3 ) P ( A 4 ) P ( X ＝ 2) ＝ P ( A 1 A 2 ) ＋ P ( B 1 B 2 ) P ( X ＝ 3) ＝ P ( B 1 A 2 A 3 ) ＋ P ( A 1 B 2 B 3 ) P ( X ＝ 4) ＝ P ( A 1 B 2 A 3 A 4 ) ＋ P ( B 1 A 2 B 3 B 4 ) 故 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 求离散型随机变量 X 的分布列的步骤： (1) 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2) 求 X 取每个值的概率； (3) 写出 X 的分布列 . 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (2016· 湖北部分重点中学第一次联考 ) 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第 i 次得到的点数为 a i ，若存在正整数 k ，使 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a k ＝ 6 ，则称 k 为你的幸运数字 . (1) 求你的幸运数字为 3 的概率； 解答 设 “ 连续抛掷 3 次骰子，和为 6 ” 为事件 A ， 则 它包含事件 A 1 ， A 2 ， A 3 ，其中 A 1 ：三次恰好均为 2 ； A 2 ：三次中恰好 1,2,3 各一次； A 3 ：三次中有两次均为 1 ，一次为 4. A 1 ， A 2 ， A 3 为互斥事件 ， 则 (2) 若 k ＝ 1 ，则你的得分为 6 分；若 k ＝ 2 ，则你的得分为 4 分；若 k ＝ 3 ，则你的得分为 2 分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记 0 分，求得分 ξ 的分布列 . 解答 由已知得 ξ 的可能取值为 6,4,2,0 ， 故 ξ 的分布列为 ξ 6 4 2 0 P 题型三　超几何分布 例 5 　 ( 2017· 济南 质检 ) PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的可入肺颗粒物 . 根据现行国家标准 GB3095 － 2012 ， PM2.5 日均值在 35 微克 / 立方米以下空气质量为一级；在 35 微克 / 立方米 ～ 75 微克 / 立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 / 立方米以上空气质量为超标 . 从某自然保护区 2016 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5 日均值 ( 微克 / 立方米 ) [ 25,35 ] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 频数 3 1 1 1 1 3 (1) 从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； 解答 记 “ 从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一天空气质量达到一级 ” 为事件 A ， (2) 从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求 ξ 的分布列 . 解答 依据条件， ξ 服从超几何分布，其中 N ＝ 10 ， M ＝ 3 ， n ＝ 3 ，且随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (1) 超几何分布的两个特点 ① 超几何分布是不放回抽样问题； ② 随机变量为抽到的某类个体的个数 . (2) 超几何分布的应用条件 ① 两类不同的物品 ( 或人、事 ) ； ② 已知各类对象的个数； ③ 从中抽取若干个个体 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学 . 在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院 . 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动 .( 每位同学被选到的可能性相同 ) (1) 求选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率； 解答 设 “ 选出的 3 名同学来自互不相同的学院 ” 为事件 A ， (2) 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列 . 解答 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 故随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 典例 　 某射手有 5 发子弹，射击一次命中概率为 0.9. 如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数 ξ 的分布列 . 离散 型随机变量的分布列 现场纠错 系列 17 错解展示 现场纠错 纠错心得 (1) 随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率 . ( 2) 验证随机变量的概率和是否为 1. 返回 解 　 P ( ξ ＝ 1) ＝ 0.9 ， P ( ξ ＝ 2) ＝ 0.1 × 0.9 ＝ 0.09 ， P ( ξ ＝ 3) ＝ 0.1 × 0.1 × 0.9 ＝ 0.009 ， P ( ξ ＝ 4) ＝ 0.1 3 × 0.9 ＝ 0.000 9 ， P ( ξ ＝ 5) ＝ 0.1 4 ＝ 0.000 1. ∴ ξ 的分布 列为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.9 0.09 0.009 0.000 9 0.000 1 返回 课时作业 1.(2016· 太原模拟 ) 某射手射击所得环数 X 的分布列为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 根据 X 的分布列知，所求概率为 0.28 ＋ 0.29 ＋ 0.22 ＝ 0.79. 则此射手 “ 射击一次命中环数大于 7 ” 的概率 为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 √ 2.(2016· 岳阳模拟 ) 设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为 答案 解析 X － 1 0 1 P 1 － 2 q q 2 则 q 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2016· 郑州模拟 ) 已知随机变量 X 的分布列为 P ( X ＝ i ) ＝ ( i ＝ 1,2,3,4) ，则 P (2< X ≤ 4) 等于 答案 解析 √ 由分布列的性质知， 则 a ＝ 5 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(2016· 湖北孝感汉川期末 ) 设随机变量 ξ 的分布列为 P ( ξ ＝ i ) ＝ a ( ) i ， i ＝ 1,2,3 ，则实数 a 的值 为 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2017· 武汉 调研 ) 从装有 3 个白球， 4 个红球的箱子中，随机取出 3 个球，则恰好是 2 个白球， 1 个红球的概率是 答案 解析 √ 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(2017· 长沙 月考 ) 一只袋内装有 m 个白球， n － m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 X 个白球，下列概率 等于 的 是 答案 解析 A. P ( X ＝ 3) B. P ( X ≥ 2) C. P ( X ≤ 3) D. P ( X ＝ 2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得 0 分，抢到题并回答正确的得 1 分，抢到题但回答错误的扣 1 分 ( 即得－ 1 分 ) ；若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分 ( 分数高者胜 ) ，则 X 的所有可能取值是 __ _ ______. 答案 解析 － 1,0,1,2,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X ＝－ 1 ，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了， X ＝ 0 ，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少 2 个题或甲抢到 2 题，但答时一对一错，而乙答错一个题目， X ＝ 1 ，甲抢到 1 题且答对，乙抢到 2 题且至少答错 1 题或甲抢到 3 题，且 1 错 2 对， X ＝ 2 ，甲抢到 2 题均答对， X ＝ 3 ，甲抢到 3 题均答对 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 随机变量 X 的分布列如下： X － 1 0 1 P a b c 其中 a ， b ， c 成等差数列，则 P (| X | ＝ 1) ＝ ________ ，公差 d 的取值范围是 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ∵ a ， b ， c 成等差数列， ∴ 2 b ＝ a ＋ c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 设离散型随机变量 X 的分布列为 答案 解析 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量 Y ＝ | X － 2| ，则 P ( Y ＝ 2) ＝ ________. 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由分布列的性质，知 0.2 ＋ 0.1 ＋ 0.1 ＋ 0.3 ＋ m ＝ 1 ， ∴ m ＝ 0.3. 由 Y ＝ 2 ，即 | X － 2| ＝ 2 ，得 X ＝ 4 或 X ＝ 0 ， ∴ P ( Y ＝ 2) ＝ P ( X ＝ 4 或 X ＝ 0) ＝ P ( X ＝ 4) ＋ P ( X ＝ 0) ＝ 0.3 ＋ 0.2 ＝ 0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 ξ ，则 P ( ξ ≤ 6) ＝ ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(2015· 山东改编 ) 若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为 “ 三位递增数 ” ( 如 137,359,567 等 ). 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “ 三位递增数 ” 中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次 . 得分规则如下：若抽取的 “ 三位递增数 ” 的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得－ 1 分；若能被 10 整除，得 1 分 . (1) 写出所有个位数字是 5 的 “ 三位递增数 ” ； 解答 个位数是 5 的 “ 三位递增数 ” 有 125,135,145,235,245,345. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 随机变量 X 的取值为 0 ，－ 1,1 ，因此 所以 X 的分布列为 X 0 － 1 1 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 12.(2016 · 遂 宁期末 ) 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3 ，从盒中任取 3 张卡片 . (1) 求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； 由古典概型的概率计算公式得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列 .( 注：若三个数字 a ， b ， c 满足 a ≤ b ≤ c ，则称 b 为这三个数的中位数 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由题意知 X 的所有可能取值为 1,2,3 ，则 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13.(2016· 长春模拟 ) 某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了 n 位校友 ( n >8 且 n ∈ N * ) ，其中女校友 6 位，组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出 2 位校友代表，若选出的 2 位校友是一男一女，则称为 “ 最佳组合 ”. (1) 若随机选出的 2 名校友代表为 “ 最佳组合 ” 的概率不 小于 ， 求 n 的最大值； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设选出 2 人为 “ 最佳组合 ” 记为事件 A ， ∴ 9 ≤ n ≤ 16 ，故 n 的最大值为 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 当 n ＝ 12 时，设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 ξ ，求 ξ 的分布列 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意， ξ 的可能取值为 0,1,2 ，且 ξ 服从超几何分布， 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13