【数学】2020届一轮复习北师大版等差数列等比数列作业 5页

一、选择题(本题共7小题，每小题5分，共35分)‎ ‎1．(2018·常德模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则＝‎ A．2　　　　 B．3　　　　 C．5　　　　 D．7‎ 解析　由a1，a2，a4成等比数列得a＝a1a4，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，＝＝＝5，选C.‎ 答案　C ‎2．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的 A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0.所以“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件．故选C.‎ 答案　C ‎3．(2018·济南模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天．在这个问题中，第5天应发大米 A．894升 B．1 170升 C．1 275升 D．1 467升 解析　由题意知，每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×64＋×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升．‎ 答案　B ‎4．(2018·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为 A．10 B．11 C．12 D．13‎ 解析　由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13‎ ‎＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.‎ 答案　C ‎5．(2018·张家界三模)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取得最大值时，n的值为 A．2 B．3 C．4 D．6‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－，q3＝，q＝，此等比数列各项均为负数，当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2＝(－24)2×＝24×8＝192，T4＝(－24)4＝84×＝>192，T6＝(－24)6＝86×＝＝＝×<.T4最大，选择C.‎ 答案　C ‎6．(2018·盐城模拟)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是 A. B. C. D. 解析　因为公比q不为1，所以删去的数不是a1，a4.‎ ‎①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q2＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，得q＝；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q>0，得q＝.综上所述，q＝，故选B.‎ 答案　B ‎7．(2018·百校联盟模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为 A．12 B．9 C．16 D．18‎ 解析　因为S3－S2＝a3，所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3，设等比数列{an}的公比为q，则a1＝，由于{an}的各项为正，所以q>1.a4＋3a2＝a1q3＋3a1q＝a1q(q2＋3)＝‎ eq f(3,q（q－1）)q(q2＋3)＝＝3≥18，当且仅当q－1＝2，即q＝3时，a4＋3a2取得最小值为18，故选D.‎ 答案　D 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎8．(2018·广元统考)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，则b5的值为________．‎ 解析　由a1＋a2＝10，a4－a3＝2可知数列a1＝4，d＝2，an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，故q＝2，b5＝b3·q2＝16×4＝64.‎ 答案　64‎ ‎9．(2018·太原三模)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，若a1，ak，a2k(k∈N*且k≥2)是公比为q的等比数列，则公比q的最大值为________．‎ 解析　由题意，设公差为d，则q＝＝1＋(k－1)·，‎ 因为a1，ak，a2k(k∈N*且k≥2)是公比为q的等比数列，‎ 所以a＝a1·a2k，所以＝，‎ 所以q＝1＋≤2，所以公比q的最大值为2.‎ 答案　2‎ ‎10．(2018·衡水模拟)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*)(p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：‎ ‎①若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等差数列；‎ ‎②数列{(－1)n}是等方差数列；‎ ‎③若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k为常数，k∈N*)也是等方差数列；‎ ‎④若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列；‎ 其中正确命题的序号为________．‎ 解析　①因为{an}是等方差数列，所以a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)成立，得到{a}为首项是a，公差为p的等差数列；‎ ‎②因为a－a＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝1－1＝0，‎ 所以数列{(－1)n}是等方差数列；‎ ‎③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，ak＋1，ak＋2，…，a2k，…，a3k，…‎ 数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…‎ 因为a－a＝a－a＝a－a＝…＝a－a＝p，所以(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝a－a＝kp，类似地，可得a－a＝kp，‎ 所以，数列{akn}是等方差数列；‎ ‎④{an}既是等方差数列，又是等差数列，所以a－a＝p，且an－an－1＝d(d≠0)，所以an＋an－1＝，联立解得an＝＋，所以{an}为常数列，当d＝0时，显然{an}为常数列，所以该数列为常数列．‎ 答案　①②③④‎ 三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)‎ ‎11．(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.‎ 解析　(1)设{an}的公差为d.‎ 因为a2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2.‎ 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.‎ ‎(2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，‎ 所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)．‎ ‎12．(2018·山西考前适应性测试)已知等比数列{an}中，an>0，－＝，n∈N*，且a1＝.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(－1)n·(log2an)2，求数列{bn}的前2n项和T2n.‎ 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q>0.‎ 因为－＝，所以－＝，‎ 因为q>0，解得q＝2.所以an＝×2n－1＝2n－7，n∈N*.‎ ‎(2)bn＝(－1)n·(log2an)2＝(－1)n·(log22n－7)2＝(－1)n·(n－7)2.‎ 设cn＝n－7，则bn＝(－1)n·(cn)2.‎ T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ‎＝－(c1)2＋(c2)2＋[－(c3)2]＋(c4)2＋…＋[－(c2n－1)2]＋(c2n)2‎ ‎＝(－c1＋c2)(c1＋c2)＋(－c3＋c4)(c3＋c4)＋…＋(－c2n－1＋c2n)(c2n－1＋c2n)‎ ‎＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n ‎＝＝n(2n－13)＝2n2－13n.‎